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Annali di Matematica Pura ed Applicata

, Volume 91, Issue 1, pp 129–161 | Cite as

Sopra una classe di problemi variazionali di ordinen

  • Natalia Berruti Onesti
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Considerati gli integrali curvilinei dello spazio in forma parametrica relativi a problemi variazionali di ordine n, con n>3, nella forma in cui, in base a quanto è stato stabilito nei casi n=2 e n=3 da S. Cinquini, risultano indipendenti dal parametro, vengono svolte, in merito a tali integrali, dapprima alcune considerazioni preliminari. Nel seguito si perviene a teoremi di continuità, dei quali l'A. intende, in un lavoro successivo, usufruire per stabilire, mediante la semicontinuità, teoremi di esistenza dell'estremo assoluto degli integrali stessi. I risultati ottenuti nella presente Memoria già pongono in luce notevoli diversità che il caso n>3 presenta rispetto ai casi n=2 e n=3 sopra indicati.

Bibliografia

  1. (1).
    S. Cinquini,Sopra i fondamenti di una classe di problemi variazionali dello spazio, Rend. del Circolo Matematico di Palermo, S. II, T. VI, (1957), pp. 271–288.MathSciNetGoogle Scholar
  2. (2).
    È da ricordare che una diversa impostazione per problemi variazionali in forma parametrica di ordine superiore è stata data daH. S. P. Grässer, il quale, in luogo della metrica euclidea, assume la metrica di Finsler. Cfr., per es., a questo proposito,H. S. P. Grässer,A monograph on the general theory of second order parameter-invariant problems in the calculus of variations, Math. Commun. Univ. of S.A. M2, University of South Africa, Pretoria (1967);On a general Hamilton-Jacobi theory for m-th order single integral calculus of variations problems - Part 2:The parameter-invariant case, in corso di stampa nei Rendiconti dell'Istituto Lombardo di Scienze e Lettere, (vol. 105). Ricordiamo anche che il problema della semicontinuità e quello della esistenza dell'estremo assoluto sono stati trattati, con procedimento diverso, per una classe generale di integrali. Cfr., per es.,A. W. J. Stoddart,Semicontinuity of integrals, Trans. Math. Soc.,122 (1966), pp. 120–135;Existence of optimal controls, Pacific Journ. of Math.,20 (1967), pp. 167–177;An existence theorem for optimal stochastic programming, The Journ. of the Australian Math. Soc.,8, parte I (1968), pp. 114–118. Cfr. anche la seconda parte della (6′) del presente lavoro.Google Scholar
  3. (2′).
    Per l'espressione diu 2,v 2,w 2 eu 3,v 3,w 3 nel caso in cui il parametro non è la lunghezza dell'arco rettificato, cfr., nel lavoro citato in (1), il n. 6. Tali espressioni vengono riportate nelle (4) del presente lavoro.Google Scholar
  4. (3).
    S. Cinquini,Sopra l'esistenza dell'estremo per una classe di integrali curvilinei in forma parametrica, Annali di Matematica pura ed applicata, S. IV, T. XLIX, (1960), pp. 25–71. Tale Memoria, in seguito, verrà chiamata brevemente Memoria C.MathSciNetGoogle Scholar
  5. (4).
    In merito agli integrali (2*), cfr. ancheN. Berruti Onesti,Sopra le estremali relative ad integrali curvilinei dello spazio in forma parametrica, Annali di Matematica pura ed applicata, S. IV, T. LII, (1960), pp. 79–106;Sopra le estremaloidi relative ad integrali curvilinei dello spazio in forma parametrica, Annali di Matematica pura ed applicata, S. IV, T. LII, (1960), pp. 219–246;Sopra alcune proprietà delle estremaloidi relative ad una classe di problemi variazionali, Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, S. III, T. XV, (1961), pp. 327–335;A proposito delle estremali relative a integrali curvilinei dello spazio in forma parametrica, Bollettino U.M.I., S. III, Vol. 16, (1961), pp. 465–475.MathSciNetGoogle Scholar
  6. (4′).
    Il contenuto del presente lavoro ha formato oggetto di una comunicazione tenuta al IX Congresso dell'U.M.I. (Bari, 27 settembre - 3 ottobre 1971).Google Scholar
  7. (5).
    Per quanto riguarda il caso piano, pern=2, cfr.S. Cinquini,Sopra i problemi variazionali in forma parametrica dipendenti dalle derivate di ordine superiore, Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, S. II, Vol. XIII, (1944) [1947], pp. 19–49.MathSciNetGoogle Scholar
  8. (12).
    N. Berruti Onesti,A proposito di una classificazione di integrali curvilinei dello spazio nel calcolo delle variazioni. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, S. II, T. X, (1961), pp. 233–261. Cfr., in particolare, il n. 8 e l'Osservazione dello stesso n. 8.MathSciNetGoogle Scholar
  9. (18).
    Cfr. la (11′) del n. 5.Google Scholar

Copyright information

© Nicola Zanichelli Editore 1971

Authors and Affiliations

  • Natalia Berruti Onesti
    • 1
  1. 1.Pavia

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