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Sulle trasformazioui birazionali delle curve algebriche interpretate come rotazioni del piano iperbolico

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Sunto

Ricorrendo all'uniformizzazione mediante funzioni fuchsiane, le trasformazioni birazionali d'una curva algebrica in sè, dotate di almeno un punto unito, possono rappresentarsi mediante rotazioni periodiche del piano iperbolico. L'Autore si vale di tale rappresentazione per la ricerca del massimo periodo corrispondente a valori assegnati del genere della curva e del numero dei punti uniti. È particolarmente approfondito, tanto dal punto di vista algebrico, quanto da quello gruppale, il caso delle curve contenenti trasformazioni a periodo massimo, restandone tra l'altro precisata, negli elementi essenziali, la determinazione geometrica di poligoni fuchsiani caratteristici.

Literatur

  1. (1)

    Nella Nota introduttiva:Curve algebriche e funzioni fuchsiane [« Atti del R. Istituto Veneto di S. L. A. », T. 88 (1929), pp. 771–834] che richiameremo coll'abbreviazione « Intr. ».

  2. (2)

    A. Wiman,Ueber die hyperelliptischen Curven und diejenigen vom Geschlechte p=3rvelche eindeutige Transformationen in sich zulassen [« Bihang till K. Svenska Vet-Akad. Handlingar », Bd. 21 (1895), pp. 1–23] n.i 1–3. Il valor massimo trovato dalWiman è 4p + 2 (cfr. i nostri §§ 2 e 3).

  3. (3)

    Vedi la mia Memoria:Le involuzioni sulle curve algebriche ed il teorema generale di diramazione per le funzioni fuchsiane [« Memorie Accad. Lincei, (6), vol. III (1930), pp. 1–56]. La si richiamerà coll'inizialeD.

  4. (4)

    Per la terminologia, e per altri chiarimenti, vedi le mie Note:Sulle curve di Galois [« Rendiconti Accad. Lincei » (6), vol. IX. (1929), pp. 272–278 e 372–377].

  5. (5)

    Come si sa daA. Hurwitz,Sulle superficie di Riemann con dati punti di diramazione (trad. italiana diA. Brambilla) [« Giornale di Matem. », T. 41 (1903), pp. 337–376], Parte V, § 1, e come del resto risulta da ciò che le condizioni in discorso son sufficienti ad assicurare dell'esistenza d'unasuperficie ricoprente laR conn fogli che si permutano a norma delle sostituzioni assegnate (e di quelle che se ne deducono per ogni altro ciclo dellaR relativo adO). Alla nuova superficie si può poi conferire il carattere diRiemanniana (in senso funzionale) introducendo la nozione divariabile complessa locale, ecc. (Cfr. Intr. n.o 12).

  6. (10)

    Cfr.Wiman, loco cit. (2)Ueber die hyperelliptischen Curven und diejenigen vom Geschlechte p=3rvelche eindeutige Transformationen in sich zulassen [« Bihang till K. Svenska Vet-Akad. Handlingar », Bd. 21 (1895), pp. 1–23] n.i 2, 3.

  7. (16)

    Cfr.F. Severi,Trattato di Geometria algebrica. Vol. 1o, Parte 1a [Bologna, Zanichelli (1926)], n.o 56.

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Comessatti, A. Sulle trasformazioui birazionali delle curve algebriche interpretate come rotazioni del piano iperbolico. Annali di Matematica 8, 1–27 (1930). https://doi.org/10.1007/BF02428564

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