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Sulle curve intersezioni complete di due superficie

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Questo lavoro ha lo scopo di fornire una semplice e rigorosa dimostrazione del teorema diHalphen, che inverte un teorema diValentiner riguardante la caratterizzazione della curve intersezioni complete di due superficie (algebriche).

A tal fine si fa vedere anzitutto che la dimostrazione del teorema diValentiner può farsi consistere nella ricerca del massimo comun divisore fra due polinomi, che qui sarà utile ottenere col procedimento delle divisioni successive.

La dimostrazione del teorema diHalphen risulta allora invertendo il suddetto procedimento delle divisioni successive e qui l’operazione inversa della divisione sarà fornita dal teorema diNöther dell’Af+Bφ, inteso come ricerca diA e diB.

Résumé

Ce travail a pour but une démonstration simple et rigoureuse du théorème d’Halphen, inverse d’un théorème deValentiner: ces théorèmes caractérisent une courbe qui soit intersection complète de deux surfaces (algebriques).

On montre d’abord que la démonstration du théorème deValentiner (au moyen de l’algorithme des divisions successives) peut être reduite à la recherche du plus grand commun diviseur de deux polinomes.

La démonstration du théorème d’Halphen est conduite alors en employant un procédé inverse de celui des divisions successives; dans ce procédé l’operation inverse de la division est donnée par le théorème deNöther de l’Af + Bφ, qui fournit les polinomes inconnusA etB.

References

  1. (2)

    H. Valentiner,Zur Theorie der Raumcurven, « Acta Mathem. », 2 (1883), pag. 191;F. Enriques, O. Chisini,Teoria geometrica delle equazioni e delle funzioni algebriche, vol. III. L. V, cap. V, pag. 525, Bologna, Zanichelli, 1924.

  2. (3)

    G. H. Halphen,Classification des courbes gauches algébriques, « Journal de l’École Polithecnique », LII cahier, 1882, pag. 1, oppureOeuvres, t. III, pag. 318, Paris, Gauthier Villars, 1921.

  3. (4)

    F. Enriques, O. Chisini, l. c., vol. III, L. V, cap. V, pag. 527.

  4. (5)

    Cfr.A. Capelli,Istituzioni di Analisi algebrica, cap. VIII, § 4, pag. 326, Napoli, 1909 edE. Cesaro,Corso di Analisi algebrica, § XLVII, pag. 334. § XLIX, pag. 351, Bocca, Torino, 1894.

  5. (6)

    Questo fatto si dimostra esattamente come per il risultante (per esempio come inG. Sansone,Lezioni di Analisi matematica, vol. I, cap. XII, § 10, pag. 321, Cedam, Padova, 1940).

  6. (8)

    Tali relazioni si trovano accennate con alcune varianti nei trattati di Algebra (cfr. per es.A. Capelli, l. c., cap. VIII, § 7, pag. 339 e n. 1, pag. 340).

  7. (13)

    È noto a posteriori che questa serie ha esattamente dimensione 3. Cfr.Severi,Su alcune questioni di postulazione, § 2, n. 6, « Rend. Circolo matem. di Palermo », t. XVII, (1903), pag. 81.

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Tibiletti, C. Sulle curve intersezioni complete di due superficie. Annali di Matematica 31, 69–81 (1950). https://doi.org/10.1007/BF02428256

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