Advertisement

Annali di Matematica Pura ed Applicata

, Volume 31, Issue 1, pp 1–64 | Cite as

Nuove ricerche sulle curve sghembe algebriche di residuale finito e sui gruppi di punti del piano

  • Federico Gaeta
Article

Sunto

Mediante la teoria delle sizigie si estende il concetto di residuale (Severi) a curve sghembe con punti multipli e comunque degeneri. Lo scopo principale è lo studio delle famiglie di curve sghembe Cρ di residuale finito ρ. Ogni Cρ individua una famiglia di curve dello stesso residuale, la cui generica ha per ogni1 la stessa postulazione X 1 di Cρ. Una famiglia è altresì individuata da2ρ+2 interi positivi arbitrari. In funzione di essi si determina il minimo1 per il quale X1=1N-p+1 e la dimensione della famiglia. Si determinano tutte le famiglie regolari nel senso diSeveri (sono in numero finito per ogni residuale). Si proseguono infine le antiche ricerche diSeveri sugli spezzamenti delle curve. di una famiglia. Passando ai gruppi di punti del piano si dimostra che ogni gruppo di punti del piano è di residuale finito estendendo risultati, noti per le curve, e generalizzabili per leV r−2 diS r . Si studia inoltre la fuuzione ρ=ρ(N) che dà il residuale ρ di un gruppo diN punti generici del piano.

Bibliografia

  1. (1).
    V. F. Gaeta,Sulle curve sghembe algebriche di residuale flnito, « Annali di matematica pura ed applicata », Serie IV, T. XXVII, 1948. Citeremo in seguito questa memoria con le iniziali R. F. Ricordiamo che conSeveri chiamasi di residuale zero una curva sghembaa) irriducibile e priva di punti multipli,b) intersezione semplice completa di due superficie. Una curva soddisfacente la stessa condizionea) dicesi poi di residuale ρ, quando esistono due superficie passanti semplicemente per essa e segantisi altrove, pure semplicemente in una curva di residuale ρ − 1.Google Scholar
  2. (2).
    Some results in the aritmetic theory of algebraic varieties, « American Journal of mathematics », T. LVI. 1939, pag. 349. L’anzidetta caratterizzazione geometrica mediante la considerazione delle serie lineari applicata nel testo è dovutà aMuhly.A remark on normal varieties, « Annals of mathematics , vol. 42, n. 4, 1941, pag. 921. Per evitare di ripetere spesso una lunga locuzione adopereremo il termine aritmeticamente normale in senso conforme ai concetti algebrico-geometrici della Scuola italiana. La normalità aritmetica d’una curva irriducibile implica senz’altro ch’essa sia priva di punti multipli.Google Scholar
  3. (4).
    Una osservazione del professorSeveri, sulla quale torneremo più avanti ci ha indotti ad escludere in una prima fase della ricerca, le curve che non fossero irriducibili e prive di punti multipli (cfr. R. F, n, 4, pag. 188). Nella dimostrazione adoperata in R. F. è essenziale l’uso del resto di una curva rispetto a due superficie d’ordine minimo che la contengono. Ripetendo successivamente l’operazione di trovare questi resti a partire da una curva aritmeticamente normale, diminuisce l’ordine minimo delle superficie passanti per queste curve, ciò che dimostra che il processo deve avere una fine, cioè che si deve giungere ad una intersezione completa. Ma ho rilevato con un semplice esempio (v. R. F., n. 26) come un resto siffatto possa essere necessariamente spezzato e con singolarità. Bisognava colmare questa lacuna. Azzardavo l’ipotesi (che è stabilita rigorosamente in questo lavoro, dopo di avere dimostrato il teorema diversamente) che prendendo una curva aritmeticamente normale normale generica entro una famiglia che la contenesse, questi resti successivi doves. sero essere curve irriducibili e prive di punti multipli. Recentemente ho avuto notizie delle ricerche diR. Apéry che si era occupato dello stesso argomento ed era giunto ad un risultato analogo (« C. Rendus de l’Ac. des Sciences », Paris, 220, pag. 271, 1945; la dimostrazione diApéry non è esauriente perchè manca uno studio approfondito delle serie lineari sopra una curvaqualsiasi, limite di una curva irriducibile e priva di punti multipli. Cfr. la teoria delle serie sopra una curva spezzata in componentisemplici nell’opera diSeveri,Serie, sistemi d’equivalenza e corrispondenze algebriche tra le varietà algebriche, Ed. Cremonese, Roma, 1941, cap. V, pag. 119.Google Scholar
  4. (5).
    D. Hilbert,Ueber die Theorie der algebraischen Formen, « Math. Ann. », 26 (1890) s. 473–539 oppure le sueGesammelte Abhandlungen, 2-ter Band. s. 176–258.Hilbert adopera sistematicamente le sizigie nello studio degli invarianti delle forme; esse intervengono fondamentalmente nella sua trattazione della cosidettafunzione caratteristica di unH-ideale.MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  5. (6).
    Über die Syzygientheorie der Polynomideale, « Monatshefte für Math. », 53 Band 1 Heft 1949 Wien e il libro dello stesso autoreModerne algebraische Geometrie (Springer, Wien, 1949).Google Scholar
  6. (7).
    RecentementeR. Apéry (« C. R. Ac. Sciences », Paris), 222, 1946, ha osservato che le varietàV r−2 diS r di residuale finito si rappresentano con una matrice siffatta che chiameremo brevemente omogenea. Condizione necessaria e sufficiente affinchè tutti i minori estratti da una matrice di forme conr orizzontali eds verticali, siano pure forme, cioè che la matrice sia omogenea, è cho l’ordine di un elemento qualsiasic ik della matrice si esprima in funzione di quelli della prima riga e colonna con la formula μikiiik − μii (i=1, 2, ...,r;k=1, ...,s) (v.Gröbner, libro citato pag. 186). Postom iit>0v ki k − μii ≥ 0, l’ordine dic ik èm i+v k. Talvolta adopereremo questa ultima notazione per richiamare certe formule ottenute daSalmon, Roberts, ePieri principalmente nei riguardi delle varietà annullanti i minori d’ordine massimo di una data matrice omogenea. Una trattazione sistematica di tali varietà è stata recentemente esposta dal prof.Severi nel suo corso di Geometria superiore presso l’Università di Roma e raccolta nel secondo fascicolo della suaIntroduzione alla geometria algebrica. Geometria numerativa, Ed. Docet, Roma, cap. VII. Ivi (pag. 172) trovasi pure la facile deduzione degli ordini delle formec ik perchè la matrice sia omogenea.Google Scholar
  7. (9).
    Questo è l’atteggiamento dei cultori dell’algebra astratta secondo il quale la corrispondenza fra varietà algebriche edH-ideali è biunivoca (v. ad es. il libro cit. diGröbner, 127, pag. 81).Google Scholar
  8. (10).
    Il concetto diH-ideale perfetto risale aMacaulay (The algebraic theory of modular systems, « Cambridge Tract. », 1916, pag. 98); poi fu ripreso daDubreil che ne fece applicazioni geometriche alla varietà che egli chiamò « assolutamente di prima specie » (cfr. notizie in propositioDubreil, « C. R. Ac. des Sciences », Paris, 229, 1949). Il prof.Gröbner ha caratterizzato questi ideali con la proprietà di ammettere un numero minimo di moduli di sizigie, uguale alla differenza fra la dimensione dell’ambiente proiettivo dove l’H-ideale è dato e la dimensione dell’ideale (cfr. loc. cit. in (6), pag. 107).Google Scholar
  9. (11).
    Ricordiamo che chiamasiridotta di una curva sghembaC un resto rispetto a due superficie d’ordine minimo perC. Una ridotta diC’ chiamasi seconda ridotta diC, ..., ecc. V. R. F. Il nomeréduite è diLégaut, Thèse, Paris, 1925 e « Annales de Toulouse », t. 16.Google Scholar
  10. (12).
    Dicesi conSeveri, che una famiglia di curve sghembe d’ordineN èregolare quando la sua dimensione è minima (uguale a 4N); v. « Rend. Lincei », (5), 24 (1915) pag. 877 e 1911. Ved. pureSeveri,Vorlesungen über algebraische Geometrie (Leipzig, Teubner, 1921, p. 396).Google Scholar
  11. (12 bis).
    Pel concetto digenere effettivo di una curva spezzata ved. le citateVorlesungen diSeveri pag. 377.Google Scholar
  12. (14).
    V. le citate litografie diSeveri (nota (7)).Google Scholar
  13. (15).
    Légaut aveva gia dimostrato laboriosamente e con qualche restrizione (v. loc. cit. in (11)) che ogni gruppo di punti del piano appartiene ad una catena di gruppi di punti ognuno dei quali è resto del precedente, catena che finisce con una intersezione completa.Google Scholar
  14. (17).
    B. L. van der Waerden,Moderne Algebra, II, 106, pag. 98.Google Scholar
  15. (18).
    Analogamente si definiscono lesizigie sinistre. In seguito ci occuperemo soltanto delle sizigie destre, che chiameremo spesso semplicemente sizigie. V. loc. cit. (6) ai piè della pagina 2 nell’introduzione.Google Scholar
  16. (19).
    V. Gröbner, loc. cit. in (6) o il suo libre pag. 191.Google Scholar
  17. (20).
    Ibidem, libro cit. pag. 204.Google Scholar
  18. (21).
    V. Gröbner, libro citato, pag. 192 e lavoro cit. in (6).Google Scholar
  19. (22).
    F. S. Macaulay, loc. cit. in (10), Cambridge, 1916, oppureModern algebra and po. lynomial ideals. « Proc. Cambridge phil. soc. 30 (1934), pag. 27–46.Google Scholar
  20. (23).
    V. Gröbner, libro cit.Google Scholar
  21. (24).
    Ciò costituisce una particolarità della varietà considerata,Severi osservava già nel 1909 nei suoiFondamenti di geometria sulle varietà algebriche, « Rend. circ. mat. Palermo », nota al piè della pag. 38: «non si può insomma affermare che il m. c. d. dei moduli definiti da due varietà, sia il modulo definito dalla loro intersezione ».Google Scholar
  22. (25).
    Le varietà algebriche caratterizzate da questa proprietà sono state studiate daP. Dubreil,Quelques proprietés des varietés algébriques se rattachant aux théories de l’Algèbre moderne, Act. scient. ind. Exposès à la mém. de S. Herbrand, « Act », XII, Paris, 1935, pag. 20, sotto il nome di varietà di prima specie. La sezione di una varietà di prima specie con uno spazio lineare non è necessariamenta una varietà di prima specie, perciò mentre le curve di prima specie coincidono con quelle perfette, per le dimensioni superiori perchè unaV d sia perfetta occorre e basta che le sezioni con gli spazi lineari di tutte le dimensioni siano varietà di prima specie. Se la varietà è inoltre irriducibile e priva di punti multipli tutte queste sezioni sono aritmeticamente normali (e perciò basta che siano aritmeticamente normali le sezioni ad una dimensione, cfr, R. F., n. 7, pag. 193). Si riconosce cosi che sono perfette le varietà diSegre e le grassmanniane (cfr.Severi,Sulla varietà che rappresenta gli spazi subordinati di data dimensione immersi in uno spazio lineare, « Annali di matematica », serie III, t. XXIV, 1915).Google Scholar
  23. (26).
    Questa proprietà era potenzialmente nota al prof.Severi che mi propose di dimostrarla in occasione della presentazione della mia prima nota lincea sui residuali. La facile dimostrazione geometrica trovasi esposta in una mia nota pubblicata nelle « Commentationes » della Pontificia Academia scientiarum. Un mese primaDubreil (« C. Rendus », 226, n. 7, 1948) era giunto allo stesso risultato facendo uso della teoria della quasi-uguaglianza di ideali in un anello integralmente chiuso.Google Scholar
  24. (27).
    V. Gröbner. libro cit. pag. 205.Google Scholar
  25. (28).
    Ibidem, pag. 205.Google Scholar
  26. (31).
    RecentementeR. Apéry (« C. R. Ac. Sciences », Paris, 222, pag. 778–80, 1945) ha osservato con un metodo sostanzialmente identico a quello nostro che le varietà pure adr − 2 dimensioni diS r appartenenti ad una catena di varietà pure della stessa dimensione contenenti una intersezione completa di due forme si caratterizzano dalla proprietà di annullare unaH-matrice di tipoC ρ+1, ρ+2, Qui invece abbiamo supposto che la curva di partenza è aritmeticamente normale (v. pp. 2, 3)e da ciò soltanto deriva la rappresentazione della curva mediante una matrice siffatta.Google Scholar
  27. (32).
    V. R. F., n. 15, pag. 207.Google Scholar
  28. (33).
    V. l’osservazione finale del n. 1. Non è detto infatti, che la matrice orlata così ottenuta siaassociata aC (v. pag. 10).Google Scholar
  29. (34).
    Questo risultato è stato ottenuto precedentemente per via geometrica in R. F., n. 25, pag. 232.Google Scholar
  30. (35).
    V. in proposito il semplice esempio addotto nel n, 26 di R. F., pag. 239.Google Scholar
  31. (36).
    V. ad es.Severi, loc. cit. in (4), pag. 45 e seg.Google Scholar
  32. (37).
    R. F., pag. 188. In verità è più corretto dire che se vogliamo affermare che il monoideM passa per (C, F) tale intersezione non si può ritenere definita dall’ideale (f, φ) (f=0 equazione diF; φ=0 quella di γ), giacchè (come si è preannunciato nell’introduzione) vedremo che quando una curva spezzata possiede componenti multiple, occorre un esame della composizione della singolarità per individuare l’ideale appartenente alla curva.Google Scholar
  33. (38).
    Ibidem, pag. 120.Google Scholar
  34. (39).
    V. R. F., n. 19, pag. 218.Google Scholar
  35. (40).
    V. Gröbner, libro citato, 155, pag. 205.Google Scholar
  36. (41).
    V. n. 2, pag. 14.Google Scholar
  37. (43).
    V. B. L. van der Waerden,Moderne Algebra, II, Cap. XII, § 85, pag. 22.Google Scholar
  38. (44).
    Noether, « Math. Annalen », 2, 314, 3, 6, 351,Bertini, « Math. Annalen », Bd. 34, (1889), S. 457–449. Per più ampie notizie ved. ilTrattato di geometria algebrica diSeveri, Zanichelli, Bologna, 1926 e quello diVan der Waerden,Einführung in die algebraische Geometrie, Springer, Berlin, 1939.Google Scholar
  39. (45).
    V. Severi,Rappresentazione di una forma qualunque per combinazione lineare di più altre, « Rend. Lincei », t. XI, (5), 1902.Google Scholar
  40. (46).
    V. ad. es.Severi, lit. citate in (7), fascicolo I, n. 69, pag. 112.Google Scholar
  41. (47).
    Ved. leVorlesungen diSeveri citate in (12 bis), Anhang G., n. 1, pag. 354.Google Scholar
  42. (48).
    Sui multipli di una serie lineare di gruppi di punti appartenente ad una curva algebrica, « Rend. Circ. Mat. Palermo », t. VII, 1893, n. 2.Google Scholar
  43. (50).
    V. Severi,Su alcune questioni di postulazione, « Rend. Circ. Mat. Palermo », t. XVII, 1903.Google Scholar
  44. (51).
  45. (52).
    V. n. 3, 4.Google Scholar
  46. (53).
    V. Severi, lav. cit. in (25).Google Scholar
  47. (54).
    V. Severi, lezioni citate in (7), fasc. I, n, 75, pag. 160. Il criterio adoperato è il seguente: SiaV una varietà irriducibile eC una corrispondenza fraV ed una varietàV’ la quale associ ad un punto genericox di V una varietà irriducibileM(x) suV’ di dimensioned costante. Si può staccare daV’ una varietà irriducibileV" contenente tutte le varietàM d(x) indicate e daC una corrispondenza irriducibile tale che leM d(x) risultino le varietà corrispondenti inC’ ai punti generici diV. LaV" di questo teorema si può prendere come rappresentante le curve di\(\left[ \begin{gathered} n_1 n_2 \hfill \\ n_1 \hfill \\ \end{gathered} \right]\).Google Scholar
  48. (55).
    Da questo risultato discende subito la presunzione fatta alla fine del n. 26 di R. F., accennata alla fine del n. 3, pag. 16.Google Scholar
  49. (56).
    Questo teorema è quello essenziale pnr lo studio delle famiglie di curve algebriche sghembe di residuale finito secondo le vedute diSeveri (v. loc. cit. in (12)).Google Scholar
  50. (57).
    Nelle ricerche di questo autore per la classificazione delle famiglie di curve sghembe algebriche, apparve subito la necessità di introdurre accanto all’ordineN un nuovo carattere, il generep. In seguito all’esempio diHalphen delle due famiglie di curve del nono ordine e genere dieci, che egli ha caratterizzato coi valori distinti di un nuovo caratterev esprimente l’ordine minimo dei coni passanti per le corde della curva uscenti da un punto generico,Halphen cercò di classificare le curve in base ai tre caratteriN, p, v, ma infruttuosamente, giacchè quando cresce l’ordine si presentava sempre la necessità di introdurre nuovi caratteri per distinguere famiglie di curve che avevano uguali tutti quelli introdotti precedentemente.V. Halphen,Mémoire sur la classification des courbes gauches algébriques, « Journal de l’Ecole polytechnique », t. 52 (premio Steiner 1882). V. pure il Cap. V del terzo volume dellaTeoria geometrica delle equazioni e delle funzioni algebriche diEnriques-Chisini e l’articolo diBerzolari-Rohn,Algebraische Raumkurven und abrvickelbare Flächen nella « Enzyklopädie der math. Wissenschaften », Bd III 2 ; 2A.Google Scholar
  51. (58).
    V. ad es. leVorlesungen citate diSeveri, nota (12 bis).Google Scholar
  52. (59).
    V. loc. cit. in (12).Google Scholar
  53. (60).
    V. R. F., n. 27, pag. 239.Google Scholar
  54. (61).
    V. Lêgaut, loc. cit. in (11).Google Scholar
  55. (62).
    Se le forme γ1, γ2, ..., γρ+2 di ordinin 1,n 2, ...,n ρ+2 (n 1n 2 ≥ ... ≥n ρ+2) (cfr. n. 7 pag. 22) costituiscano una base dell’ideale appartenente ad una curvaC le superficie γρ+1=0, γρ+2=0 sono due superficie minime.Google Scholar
  56. (63).
    V. R. F., n. 26. pag. 237.Google Scholar
  57. (64).
    V. R. F., n. 26, pag. 238.Google Scholar
  58. (67).
    Queste famiglie erano già state ottenute per via geometrica in R. F., n. 27, pag. 241, nota (69).Google Scholar
  59. (68).
    V. la nota (7) dell’Introduzione.Google Scholar
  60. (69).
    Cfr. la nota precedente. La formula diRoberts dà l’ordineN della varietàV r−(q−p+1) che annulla i minori d’ordine massimo di una matrice omogeneaC p,q di formec ik nelle coordinate omogeneex 0,x 1, ...,x r diS r. SecondoRoberts si verificaN=s q-p+1+s q−pσ1+s q-p-1σ2+...+σq-p+1, ove σh è la somma dei prodotti delle vi combinate semplicemente adh adh es h è la somma dei prodotti dellem i combinate con ripetizione adh adh. « Journal f. Math. », 67 (1867), p. 2. Questa formula era già stata intuita daSalmon che la riferisce nella seconda edizione della suaHigher algebra, Dublin, 1866; poi è stata anche dimostrata daVahlen « Journal f. Math. », 193 (1894), p. 348 e daPieri « Rend. Circ. Mat. Palermo », t. II, (1897). Un’altra dimostrazione indiretta è dovuta aSeveri, « Mem. Ac. Torino », 1902. Ved. le litografie citate in (7).Google Scholar
  61. (70).
    M. Stuyvaert; Liège, « Mèm. », (3), 7 (1907), 1-50 e l’articolo enciclopedico citato diBerzolari-Rohn, ved. nota (57).Google Scholar
  62. (71).
    V. n. 3, 4.Google Scholar
  63. (72).
    V. il teorema ricordato al n. 4, nota (20)- Si capisce come si possano generalizzare alleV r−2 di residuale finito diS r molti sviluppi di questo capitolo. Per brevità ci riferiremo sempre alle curve sghembe.Google Scholar
  64. (73).
    V. loc. cit., nota (32) al piè della pag 14..Google Scholar
  65. (74).
    Cfr. n. 12, pag. 32. Se γρ+2=0 γρ+1=0 sono due superficie minime esiste qualche base (γ1, γ2 ... γρ+1, γρ+2) dell’ideale di Cρ che le contiene come elementi d’ordine minimo.Google Scholar
  66. (75).
    R. F., n. 25, pag. 236.Google Scholar
  67. (76).
    D’accordo col citato teorema stabilito al n. 3, pag. 14. L’osservazione è valida per due varietàV r−2 complementari dello stesso residuale inS r.Google Scholar
  68. (77).
    V. loc. cit. in (50). In particolare si vede subito che tali gruppi sono resti delle curve di residuale ρ − 1 rappresentate dellaC ρ+1, ρ subordinato allaC ρ+1, ρ+2.Google Scholar
  69. (78).
    R. F., n. 24, pag. 231.Google Scholar
  70. (79).
    V. R. F., n. 25, pag. 232.Google Scholar
  71. (80).
    V. l’Anhang G n. 3 e seg., pag. 359 delle citateVorlesungen diSeveri, dove si tratta anche il problema per le curve iperspaziali.Google Scholar
  72. (81).
    Il problema rimase allora senza risposta, tranne che per le curve di generep≤2.V. Brill,Ueber algebraische Raumkurven, « Math. Ann. », 64, 1907.Google Scholar
  73. (82).
    V. le cit.Vorlesungen diSeveri, Anhang F, nota (1), al piè della pag. 334.Google Scholar
  74. (83).
    Ibidem, Anhang G.Google Scholar
  75. (85).
    R. F., pag. 235.Google Scholar
  76. (86).
    Behandlung der projectivischen Verhältnisse ... « Math. Ann. », Bd 19, (1882).Google Scholar
  77. (87).
    Raccolte nelle citate litografie (v. nota (7)). Una vasta bibliografia sull’argomento trovasi nell’articolo diC. Segre,Mehrdimensionale Raüme, nella « Enzyklopädie der math. Wissenschaften », Bd. III, 2, 2A, n. 9, 10, 38. Per le varietà rappresentabili con matrici di forme lineari v.T. G. Room,The geometry of determinantal loci, Cambridge University Press, 1938.Google Scholar
  78. (88).
    Queste curve furono considerate daChasles, « C. R. », 52 (1861), p. 1103 e « C. R. », 53 (1861), p. 767, 864, Parigi e daCremona, « C. R. », 52 (1861), p. 1369.Google Scholar
  79. (89).
    V. Severi, loc. cit. in (50) e l’opera dello stesso autore,Serie, sistemi d’equivalenza, cit. in (4).Google Scholar
  80. (90).
    V. R. F., n. 21, pag. 223.Google Scholar
  81. (91).
    Cfr. loc. cit. in (11). IlLégaut adopera soltanto i resti di un dato gruppo rispetto alle superficie d’ordine minimo; non fa uso della teoria degli ideali nè del concetto di residuale.Google Scholar
  82. (92).
    Gröbner, libro citato, pag. 198.Google Scholar
  83. (93).
    « Rend. Ist. Lomb. », 152, 24. Per più ampie notizie v.Severi,Trattato, citato in (44), pag. 40.Google Scholar
  84. (94).
    V. il trattato citato precedentemente, pag. 55.Google Scholar
  85. (95).
    Cfr. R. F., n. 15, pag. 206. Il teorema non sussiste per i gruppi non semplici. Il resto di un gruppo costituito da un puntoP ed altri due infinitamente vicini aP nell’intorno del primo ordine (rappresentato da una\(\left( \begin{gathered} A B 0 \hfill \\ 0 A B \hfill \\ \end{gathered} \right)\) con leA, B forme lineari nelle coordinatex 0,x 1,x 2) rispetto a due coppie di rette perP, è sempre costituito dal puntoP. Si osservi pure in questo esempio che le curve del sistema lineare delle γ1 sono spezzate in coppie di rette per P.Google Scholar
  86. (96).
    Severi,Il concetto generale di molteplicità delle soluzioni pei sistemi di equazioni algebriche e la teoria dell’eliminazione Questi « Annali », t. XXVII.Google Scholar
  87. (97).
    V. la nota (66) al piè della pag. 36 (n. 13).Google Scholar

Copyright information

© Swets & Zeitlinger B. V. 1950

Authors and Affiliations

  • Federico Gaeta
    • 1
  1. 1.Madrid

Personalised recommendations