Acta Mathematica

, Volume 65, Issue 1, pp 1–156 | Cite as

Sur les décompositions des fonctions analytiques uniformes et sur leurs applications

  • N. Aronszajn
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References

  1. 1.
    Pour les détails comp. E. Picard, Traité d'analyse, t. II, p. 160.Google Scholar
  2. 2.
    Il y a lieu à noter ici encore des décompositions importantes mais d'un genre spécial obtenues par différents mathématiciens, p. ex. les décompositions des fonctions fuchsiennes en fonction zethafuchsiennes trouvées par Poincaré. A ce sujet comp. P. Appell, Sur la décomp. d'une fonc. mérom. en éléments simples, Mémorial Sc. Math., t. XXXVI.Google Scholar
  3. 3.
    Comp. p. ex. E. Picard, Comptes Rendus, t. 92, 1881.Google Scholar
  4. 1.
    Des cas particuliers de ce théorème ont été démontré par M. Fréchet, notamment les cas oùF 1 etF 2 sont isolés et celui où l'un des ensemblesF 1,F 2 est une somme d'une suite dénombrable d'ensembles isolés et l'autre est égal à la fermeture du reste de l'ensembleF.Google Scholar
  5. 1.
    Am. Journ. of Math., t. 14, 1892.Google Scholar
  6. 2.
    Comp. N. Aronszajn, Comp. Rend. 194, p. 155; 196, p. 521; 196, p. 672.Google Scholar
  7. 1.
    Il s'agit ici principalement de l'application aux fonctions analytiques multiformes dont certains résultats ont été énoncés (dans une forme assez imprécise d'ailleurs) dans la note des Comp. Rend. 196, p. 672. L'exposé précis de ces résultats (qui paraîtra ailleurs) nécessite tout un paragraphe préliminaire sur les singularités des fonctions analytiques multiformes.Google Scholar
  8. 1.
    Ces fonctions sont donc localement analytiques. Signalons que recemment, M. L. Fantappie (dans Jahresber. d. Deutsch. Math. Ver., t. 43, 1933) a été amené, par des considérations tout à fait différentes, à considérer des fonctions du même genre.Google Scholar
  9. 2.
    Nous donnons ici,à titre exceptionnel, le nom de domaine à un ensemble ouvert qui peut ne pas être connexe. Dans tous les autres cas nous appellerons domaine un ensemble ouvert etconnexe.Google Scholar
  10. 1.
    C. à d. son développement de Taylor dans un cercle ou, ce qui revient au même, ses valeurs dans ce cercle.Google Scholar
  11. 1.
    D peut être ici un ensemble ouvert quelconque.Google Scholar
  12. 1.
    Dans le cas oùF 1 est la fermetureĒ d'une sommeE d'ensembles isolés dansF (c. à. d. fermés ainsi que leurs compléments dansF) etF 2=F−E, ce théorème a déjà été démontré par M. Fréchet dans le mémoire cité, Acta math., 54, p. 54.Google Scholar
  13. 2.
    Comp. M. Fréchet, l. c., notamment les cas oùF 1 etF 2 sont isolés et celui où l'un des ensemblesF 1,F 2 est une somme d'une suite dénombrable d'ensembles isolés et l'autre est égal à la fermeture du reste de l'ensembleF. p. 45.Google Scholar
  14. 1.
    Nous appellerons ainsi un point deL qui n'est une extrémité d'aucun arc deL.Google Scholar
  15. 1.
    La possibilité de la construction deso L x′ etL x suffit pour la valabilité de nos considérations. Même pour les ensemblesG possédant des frontières beaucoup plus compliquées que celles envisagées dans le texte nos considérations restent valables pourvu que lesL x etL x existent.Google Scholar
  16. 1.
    Remarquons que de la convergence des ϕn vers ϕ en dehors deF 1, ne résulte en général que la convergence uniforme desf−ϕn en dehors deF 2+F 1=F. Il faut done démontrer que dans notre cas les fonctionsf−ϕn sont convergentes même surF 1F 2.Google Scholar
  17. 1.
    Comp. M. Fréchet, l. c., notemment les cas oùF 1 etF 2 sont isolés et celui où des ensemblesF 1,F 2 est une somme d'une suite dénombrable d'ensembles isolés et J'autre est égal à la fermeture du reste de l'ensembleF.Google Scholar
  18. 1.
    D'ailleurs l'existence de τn (itz) ressort directement du théorème de Runge dans la forme que nous lui donnons dans le § suivant.Google Scholar
  19. 1.
    Carf−ψn est holomorphe surF 1, comp. plus haut p. 20 les propriétés de ψn.Google Scholar
  20. 1.
    Mais leurs fermetures peuvent avoir des points communs,\(\bar M \cdot \bar N\) ≠ o.Google Scholar
  21. 2.
    La théorie générale des séparateurs a été développée par M. Kuratowski dans Fund. Math. XII p. 217. Nous nous éloignons un peu, dans quelques details sans importance, des définitions primitives de M. Kuratowski.Google Scholar
  22. 3.
    Si\(\bar M \cdot \bar N\) = o, la régularité deS consiste en ce qu'il se décompose (tout entier) en un nombre fini de courbes simples fermées, disjointes et rectifiables.Google Scholar
  23. 1.
    c. à d. des ensembles homéomorphes avec une droite illimitée dans les deux directions.Google Scholar
  24. 1.
    Dans le cas général il faut se rapporter à la note sous texte p. 15. Mais le plus souvent le séparateur sera formé d'un nombre fini de courbes fermées et alors le lemme s'appliquera dans son énoncé du texte.Google Scholar
  25. 1.
    Remarquons ici qu'il n'est pas du tout nécessaire de choisirL n=L−U n. Tout marcherait aussi bien, si seulement les formules (20) et (21) restaient valables et si lesL n se composaient chacun d'un nombre fini d'ares on courbes fermées.Google Scholar
  26. 1.
    C. à d. qu'il peut être couvert par des cercles avec des rayons formant une somme aussi petite que l'on veut.Google Scholar
  27. 2.
    Ceci reste vrai si l'on supposeF 1·F 2 composé d'un nombre fini de points et si l'on prend pourf(z) les conditions plus larges suivantes: pourz situé entreL′ etL″ on a |f(z)|<m(ϱ(z)), où ϱ(z) est la plus courte distance entrez etF 1·F 2, etm(ϱ) est une fonction positive pour ϱ>0, telle que\(\mathop {\lim }\limits_{\varrho \to 0} \varrho m(\varrho ) = o. P. ex. m(\varrho ) = \varrho ^\alpha \left( {\log \frac{c}{\varrho }} \right)\beta avec \alpha > - I\). Comp. la note I à la fin du mémoire.Google Scholar
  28. 1.
    Si l'on choisit seulement un sens convenable sur la frontière de chaque domaine en question.Google Scholar
  29. 1.
    Cette méthode a été déjà utilisée par Poincaré dans Am. Journ. of Math. t. 14, 1892, p. 213 dans un cas simple où l'ensemble singulierF était l'axe réel etF 1=[− 1; +1],F 2=[−∞; −1]+[1; +∞]Google Scholar
  30. 1.
    Remarquons que dans l'exposé de la méthode, on admettait pourg(z) des points singuliers dansG aussi, mais nous allons voir queg(x) peut être choisie de manière qu'elle n'en ait que dansF 1·F 2.Google Scholar
  31. 2.
    Fixons une fois pour toutes que l'expression «en dehors deE» veut díre: dans l'ensemble complémentaire deE (par rapport au plan), tandis que «à l'extérieur deE» signifle: dans l'ensemble complémentaire de lafermeture \(\bar E\) de l'ensembleE.Google Scholar
  32. 1.
    Notre énoncé est, à quelque chose près, le même que celui qu'on trouve dans le mémoire de Runge, Acta math., 6, 1885.Google Scholar
  33. 2.
    Rappelons ici qu'un composant d'un ensembleE est un sous-ensemble connexe deE tel qu'il n'existe aucun autre sous-ensemble deE, plus grand, qui soit également connexe.Google Scholar
  34. 3.
    Cette petite généralisation par rapport à l'énoncé précédent se justifie par le fait que l'ensembleF (voir la suite de l'énoncé) peut être enfermé dans un ensembleB 1 <B satisfaisant aux conditions de l'énoncé précédent et on pourra chercher l'approximation en dehors deB 1.Google Scholar
  35. 1.
    L'ensembleA est appelé localement connexe, s'il contient pour chacun de ses points des voisinages (relatifs àA) connexes et aussi petits que l'on veut.Google Scholar
  36. 1.
    Il est évident que la relation\(\bar U_{n + 1}< U_n \) n'est pas vraie.Google Scholar
  37. 1.
    Pourm=0 le premier terme de la série sera (f 1g 1).Google Scholar
  38. 1.
    On utilise ici les relationsf=f 1+f 10,f n0=f n +1+f n+10 qui entraînent:\(f = (f_1 + f_2 + \cdot \cdot \cdot + f_m ) + f_m^0 .\) Google Scholar
  39. 1.
    Comp., p. ex., J. Hadamard, Thèse, Paris, 1892, la troisième partie surtout.Google Scholar
  40. 1.
    E(x) désigne pourx réel le plus grand entier ≤x,Google Scholar
  41. 1.
    Comp. Bull. Soc. Math., t. LX, 1932.Google Scholar
  42. 1.
    Dans le cas d'un arc simple rectifiable ceci a déjà été démontré par Painlevé (voir la démonstration p. ex. dans le mémoire cité de M. Denjoy, p. 34–35). Dans le cas d'un ensemble quelconque de mesure linéaire finie on le démontre d'une manière analogue.Google Scholar
  43. 1.
    C'est sous cette forme générale que le problème m'a été posé par M. Fréchet.Google Scholar
  44. 1.
    Rappelons que nous considérons constamment l'infini comme appartenant au plan, donc un ensemble fermé non borné renferme tonjours l'infini.Google Scholar
  45. 2.
    Je traduis ainsi les termes allemands «Mengentheoretische Topologie» et «Mengentheoretische Geometrie», ce dernier introduit par M. Menger.Google Scholar
  46. 1.
    QuandF appartiendra à une de ces classes p. ex. à\(\Re _1 \), on pourra poserF 1=F etF 2=o. Il sera donc utile d'admettre que Φ ensemble vide appartient à chacune de ces classes.Google Scholar
  47. 2.
    C. à d. queE est l'ensemble commun deK 1 et d'un ensemble ouvert du plan, ou bien, ce qui revient au même, que\(E \cdot \overline {K_1 - E} = o.\) Google Scholar
  48. 3.
    Cette décompositionF=F 1 +F 2 est tout à fait analogue à celle utilisée par M. Fréchet dans des cas particuliers.Google Scholar
  49. 4.
    Ceci est vrai sans exception pour les propriétés (P) absolues mais ne l'est plus pour certaines propriétés (P) relatives. Dans tous les cas, cela restera vrai pour les propriétés (P) relatives considérées dans la suite.Google Scholar
  50. 1.
    l. c. Ceci est vrai sans exception pour les propriétés (P) absolues mais ne l'est plus pour certaines propriétés (P) relatives. Dans tous les cas, cela restera vrai pour les propriétés (P) relatives considérées dans la suite. p. 75.Google Scholar
  51. 2.
    Nous appelons continu nu ensemble connexe et compact en soi qui ne se réduit pas à un seul point. L'ensemble composé d'un seul point sera parfois appelé continu dégénéré. Dans le plan complexe (avec le point à l'infini) les continus coïncident avec la classe des ensembles connexes et fermés.Google Scholar
  52. 1.
    l. c. Nous appelons continu un ensemble connexe et compact en soi qui ne se réduit pas à un seul point. L'ensemble composé d'un seul point sera parfois appelé continu dégénéré. Dans le plan complexe (avec le point à l'infini) les continus coïncident avec la classe des ensembles connexes et fermés. p. 77.Google Scholar
  53. 2.
    D'après la terminologie de M. Fréchet, isolé dansE veut dire fermé et relativement ouvert dansE.Google Scholar
  54. 3.
    l. c. D'après la terminologie de M. Fréchet, isolé dansE veut dire fermé et relativement ouvert dansE. p. 72.Google Scholar
  55. 4.
    Comp. Aronszajn, Comptes Rendus Ac. Sc. 193, 1931, p. 1381.Google Scholar
  56. 1.
    On considérera le diamètre sur la sphère de Riemann.Google Scholar
  57. 2.
    Ou plutot jusqu'à 2.Google Scholar
  58. 3.
    Si l'on considère un point comme continu (degénéré).Google Scholar
  59. 4.
    Nous prenons ici la mesure superficielle de Lebesgue. On pourrait obtenir des décompositions analogues à celle qui s'ensuit dans le texte en considérant la mesure linéaire ou, plus généralement les mesures des dimensions non-entières de M. Hausdorff.Google Scholar
  60. 1.
    Comp. Fréchet, l. c., notamment les cas ouF 1 etF 2 sont isolés et celui où des ensemblesF 1,F 2 est une somme d'une suite dénombrable d'ensembles isolés et l'autre est égal à la fermeture du reste de l'ensembleF, p. 42.Google Scholar
  61. 2.
    QuandH est isolé dansF,\(\bar H - H = o\), et deux parties principales ne différent que par une constante. On choisit d'habitude parmi ces parties principales celle qui s'annule à l'infini (quandH est borné). Cette convention, sans importance, distingue un point spécial dans le plan, ce qui n'est pas dans l'esprit de nos recherches générales. En principe nous ne la ferons pas.Google Scholar
  62. 1.
    C. à d. l'ensemble des points limites de toutes les suites {x n} avecx n appartenant àH n. Cet ensemble limite est donné par la formule:\(L = \overline {\sum\limits_1^\infty {Hn} } \cdot \overline {\sum\limits_2^\infty {Hn} } \cdot \overline {\sum\limits_3^\infty {Hn} } \cdot \cdot \cdot \). Il peut être encore défini par la propriété qu'il est le plus petit ensemble dont tout voisinage contient tous lesH n, à partir d'un certain rangn 0.Google Scholar
  63. 1.
    Dans notre note des Comptes Rendus, 196, 1933, p. 521 la formule donnant la décomposition correspondante n'est pas exacte; il y manque de termes correctifs.Google Scholar
  64. 1.
    Donc si l'on prend p. ex.\(f(z) = \frac{I}{{I - z}}\) pour |z|<1 et\(f(z) = I + \frac{I}{{I - z}}\) pour |z|>1, le point 1 ne sera pas un pôle pourf(z), car il n'est pas isolé dans l'ensemble singulier def(z).Google Scholar
  65. 1.
    On pourrait être tenté d'employer plutôt la dérivée logarithmique def(z): ceci présente pourtant l'inconvénient que la décomposition de cette dérivèe log. en somme n'est déterminée qu'à une fonction près qui, en général, pourrait avoir une intégrale indéfinie avec des périodes non multiples de 2πi ce qui pourrait entrainer que les composantes de la dérivée log. def(z) ne seraient pas des dérivées log. de fonctionsf 1(z) etf 2(z) hol. etuniformes.Google Scholar
  66. 1.
    L'existence d'un tel système de coupures sera démontrée dans la note II à la fin du mémoire. Il nous suffirait évidemment pour nos buts d'utiliser des coupures d'un genre plus général. L'existence des coupures du genre décrit dans le texte, nous parait pourtant assez intéressante en soi-même pour valoir la peine d'être démontrée.Google Scholar
  67. 1.
    Sit est choisi d'avance mais en dehors de tous les segmentsL en question, on pourra toujours choisirV assez étroit etC assez petit pour quet reste en dehors deV etC.Google Scholar
  68. 1.
    L'analyse de ces cas exceptionnels sera donnée dans un instant.Google Scholar
  69. 1.
    Ceci justifie donc la désignation de σ indifféremment par σ(Φ 1,f) et σ(G, f).Google Scholar
  70. 2.
    On le vérifie par un simple calcul que nous omettons ici.Google Scholar
  71. 1.
    Φ 1−(−I) veut dire l'ensembleΦ 1 diminué de l'ensemble (−1) formé par un seul point −1.Google Scholar
  72. 1.
    Remarquons que\(\bar H - H\) ne renferme jamais ni pôles, ni zéros def(z).Google Scholar
  73. 1.
    L'exposé que nous donnons ne renferme pas de résultats essentiellement nouveaux. C'est pourquoi nous avons cru inutile d'y préciser les démonstrations. Il diffère d'autres exposés sur un sujet semblable (comp. G. Valiron, Annali Scuola Norm. di Pisa, Série II, vol. II 1933 et Vl. Bernstein, Reale Accademia d'Italia, 1933, p. 339) surtout par la manière de présenter les choses que nous jugeons plus commode pour nos buts.Google Scholar
  74. 1.
    Sauf certaines considérations particulières concernant la transformation obtenue avecM(α)=e −α et où laP-transformée se montre plus commode que laB-transformée.Google Scholar
  75. 2.
    C. à d. qu'avec un pointz, il renferme tout le segment demi-ouvert (o;z].Google Scholar
  76. 1.
    En général: l'ensembleE est étoile contré en ∞, s'il renferme avec un point ϱe toute la demi-droitere ,r≥σ.Google Scholar
  77. 1.
    Cet ensemble commun peut n'être ni fermé, ni ouvert. La frontière d'un tel ensembleA est définie comme l'ensemble\(\bar A \cdot \overline {P - A,} \)P désigne le plan entier.Google Scholar
  78. 2.
    Remarquons que pour que le domaineC(1,R) existe (c. à d. ne soit pas vide) il est nécessaire qu'il existe une constante ϱ telle que\(\overline {\mathop {\lim }\limits_{\alpha = \infty } } e^{\alpha ^\varrho } M(\alpha ) > o\).Google Scholar
  79. 1.
    Remarquons que 1 peut se trouver à l'intérieur de\(\bar D_1 (I)\).Google Scholar
  80. 2.
    Il est à remarquer qu'alors la fonctionk(θ)=k 1(θ) est continue,k(θ) etk 1(θ) étant sémicontinues, l'une supérieurement et l'autre inférieurement (car leurs inverses forment les équations des frontières des domaines étoilésD(1) etC(1), le premier centré en l'origine et le second centré en ∞).Google Scholar
  81. 1.
    On ne sait pas encore s'il est possible que cette condition soit remplie sans quek(θ) coïncide avec une fonction\(\left( {\cos \varrho \theta } \right)^{\frac{1}{\varrho }} \) pour un ϱ>o.Google Scholar
  82. 1.
    c. à. d. tel qu'il n'existe aucun domaine plus grand satisfaisant aux mêmes conditions.Google Scholar
  83. 1.
    On utilise ici le fait que si les fonctionsf n (z) convergent univformément versf(z) en dehors d'un cercle, les fonctionsΦ n(z) correspondant àf n (z) tendent uniformément dans tout domaine borné, vers la fonction Φ(z) correspondant àf(z).Google Scholar
  84. 1.
    ou, plus précisément, on peut définirf(z) à l'intérieur de son ensembleD conformément à nos conventions, de manière quep n'appartienne pas à l'ensemble singulier def(z). Dans les cas dégénérés, quandI forme un seul segment rectiligne il faut pour cela admettre pourf(z) des coupures sortant de l'ensembleD def(z), ce qui entraine quelques petits changements dans les raisonnements.Google Scholar
  85. 1.
    Dans notre note des comptes Rendus, 196, 1933, p. 673 nous avons donné par inadvertance cette dernière condition comme répondant au problème résolu dans l'énoncé précédent.Google Scholar
  86. 2.
    Nous appellerons ici bande (infinie) un domaine simplement connexe s'étendant jusqu'à l'infini avec une frontière composée d'une ou deux courbes simples fermées passant par l'infini. Nous ne considèrerons que des bandes suffisamment étroites dans ce sens que la distance d'un pointz de cette bande à la frontière de celle-ci est bornée, on même tend vers 0, quandzs'éloigne vers l'infini.Google Scholar
  87. 1.
    Comp. L. Bieberbach, Lehrbuch der Funktionenthéorie II, 1931, p. 278. Cette définition provient des idées de Hurwitz, Iversen et Gross.Google Scholar
  88. 1.
    Les premiers exemples de ce genre sont connus depuis les travaux de Mittag-Leffler datant de 1904. Des classes plus générales de tels exemples ont été construites par H. Bohr comp. Comptes Rend. Ac. Sc., t. 189, 1929, p. 826.MATHGoogle Scholar
  89. 2.
    Des définitions du même genre ont été introduites et étudiées par M. Valiron.Google Scholar
  90. 1.
    La question, si cette condition est aussi suffisante, n'est pas encore résolue.Google Scholar
  91. 1.
    NotammentΦ 1(z) tend vers O avec 1/z à l'extérieur deD et possède la même allure que Φ(z) dansD, à l'exception d'un voisinage angulaire quelconque deC. Pour cette dernière notion, comp. la note I où se trouvent des développements en rapport direct avec ceux que nous faisons maintenant.Google Scholar
  92. 2.
    En vertu de (α) et (γ), on peut démontrer qu'il existe un ν>0 pour lequel (α′) est vrai.Google Scholar
  93. 1.
    Ainsi qu'àD 0 +Δ 10 +Δ 20 et en général à tous les angles entreD 0 etD, car ils ne diffèrent deux à deux que par des angles où Φ(z) est d'allure regulière.Google Scholar
  94. 1.
    c. à d. les angles ouverts qui ne renferment que des directions régulières pour Φ(z) et qui ont un coté dansΨ 1 et l'autre dansΨ 2. On voit immédiatement qu'il n'y a qu'un nombre fini et pair de tels angles (autrementΨ 1 etΨ 2 auraient une direction commune) et que les angles complémentaires de ceux-là ne renferment alternativement (dans l'ordre circulaire) aucun point deΨ 1 ou deΨ 2.Google Scholar
  95. 1.
    Dans une note parue dans Proc. Nat. Ac., t. 20, 1934, p. 211.Google Scholar
  96. 1.
    Comp. nos conventions sur les fonctions holom. et unif. dans § 1 de la 1re partie.Google Scholar
  97. 2.
    Les conditions nécessaires et suffisantes sont loin d'être connues.Google Scholar
  98. 1.
    Moyennant certaines conventions, on pourrait ajouter le point à l'infini au domaine fondamental dans le cas d'un ordre fini, mais ceci ne présente pour nous aucune importance.Google Scholar
  99. 1.
    Ceci résulte du fait général que pour une fonction analytiquef(Z) den variables complexesz 1,...,z n, régulière au pointZ=X, on a\(\left| {\Delta ^p f(X)} \right| \leqslant (2p)! n^p \frac{{M(r)}}{{\left( {2\pi } \right)^n r^{2p} }}\), oùM(r) désigne le maximum du module def(Z) dans le polycylindre (de l'espace complexe): |z n−xn| ≤r.Google Scholar
  100. 2.
    Dans le cas den pair on aurait, dans les développements qui vont suivre, des termes (à partir d'un certain indice) renfermant des logarithmes, ce qui allongerait les formules et les rendrait dissymétriques (sans toutefois compliquer essentiellement les raissonnements).Google Scholar
  101. 1.
    Pour les fonctionsVm1(s),...,m n comp. P. Appell et J. Kampé de Feriet, Fonct. hypergéométriques et hypersphériques, Paris, 1926, p. 249.Google Scholar
  102. 1.
    C. à d. par la transformation d'une série∑u n en la série∑Δ p u n Google Scholar
  103. 1.
    On pose iciΔ 0 f =f.Google Scholar
  104. 2.
    Ce dernier fait s'obtient par le procédé classique en excluant deV une petite sphère de centreX et en faisant tendre son rayon vers o.Google Scholar
  105. 1.
    Remarquons que pour les fonctions harmoniques habituelles, les parties principales et les décompositions dans le cas des points singuliers isolés, ont été déjà envisagées par P. Appell, Mémorial Sc. Math., t. XXXVI p. 32.Google Scholar
  106. 2.
    Comme nous avons déjà remarqué, nous n'utiliserons que des hypersurfaces composées d'un nombre fini de morceaux des hypersurfaces sphériques. Nous supposerons que les contours de ces morceaux sont également formés par un nombre fini des hypersurfaces sphériques (n−2). dimensionnelles. Dans ces conditions nous pourrons facilement trouver par des constructions géométriques toutes les hypersurfaces auxiliaires nécessaires pour la démonstration.Google Scholar
  107. 1.
    Ceci est imposé à cause des conditions de convergence des séries (7) et (11).Google Scholar
  108. 1.
    Le radical √n provient de l'inégalité:\(\left| {\frac{{\partial f}}{{\partial n}}} \right| \leqslant \sqrt {\sum\limits_{k = 1}^n {\left( {\frac{{\partial f}}{{\partial x_k }}} \right)^2 .} } \) Google Scholar
  109. 1.
    Longueur deL=somme des longueurs de tous les arcs deL=mesure linéaire deL.Google Scholar
  110. 2.
    On utilise pour cela le fait général que la surface couverte par des cercles de rayon ϱ et centrés aux points d'une courbe fermée de longueurl, est toujours ≤2lϱ. Pour un arc de longueurl on aura la même inégalité si l'on prend la partie de la surface, comprise dans un angle (quelconque) dont les cotés passent par les extrémités de l'arc.Google Scholar
  111. 1.
    Pour la fonction monotonem(ϱ) la condition (4) entraine:\(\mathop {\lim }\limits_{\varepsilon = 0} \varepsilon m(\varepsilon ) = o\).Google Scholar
  112. 1.
    Car cette différence présente l'intégrale de Cauchy étendue sur les ares de la frontière\(\mathfrak{F}\) (D) qui passent en dehors de l'ensemble singulierF def(z). La somme de ces arcs forme exactementL+L o et pour de tels arcs on peut généraliser le lemme du § 2, si seulement la fonction y est absolument sommable.Google Scholar
  113. 1.
    Cette dernière relation provient du fait queG o ⊂G par hypothèse et que chaque composant deU o contient des points deL o intérieurs àG Conc, s'il contenait encore de points en dehors deG, il devrait sûrement traverserL ce qui est impossible.Google Scholar
  114. 2.
    Car, d'une part, ψ n'aurait que le seul point singuliera. D'autre part |ψ(x)| =|f 1(x)− −ϕ1 (x)| < 2M(r) pourx à l'extérlenr deG, et |ψ(x)| =|f 2(x)− ϕ2 (x)| < 2M(r) pourx dansG, done |ψ(x)| < 2M(r) pourx≠a. Mais d'après (4) et (7) on trouve facilement queM(r)·r tend vers o avecr, par conséquent |x−a| |ψ(x)| tend vers o quandx s'approche dea d'une manière quelconque et o ne peut pas être un point singulier isolé de ψ (x). Celle-ci n'ayant pas d'autres singularités, se réduit à une constante.Google Scholar
  115. 1.
    L'équivalenceM(r)∼m(r) veut dire que pourr volsin de o,\(o< A< \frac{{M(r)}}{{m(r)}}< B< \infty \), avecA etB indépendants der.Google Scholar
  116. 1.
    Pour α=1, on aura\(C_2 \log \frac{1}{{r_2 }}\) au lieu de\(C_2 r_2^{\alpha - 1} \).Google Scholar
  117. 1.
    Rappelons que l'ensemble Φ est supposé borné.Google Scholar
  118. 1.
    c. à d. situés dans deux régions différentes déterminées parΦ 1 dans le plan.Google Scholar

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© Almqvist & Wiksells Boktryckeri-A.-B. 1935

Authors and Affiliations

  • N. Aronszajn
    • 1
  1. 1.à Paris

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