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Sulla teoria delle funzioni automorfe e delle loro trasformazioni

  • Guido Fubini
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References

  1. (*).
    Cfr. la Mem. dell'Aut., che noi citeremo con (A):Sulla teoria dei gruppi discontinui (Ann. di Matem., 1905).Google Scholar
  2. (**).
    Cfr. i lavori diPoincaré e diPicard nei tomi 1–5 degliActa Mathem., diBlumenthal,Ueber die Modulfunctionen, ecc. Math. Ann., 1903. diFubini, Mem. cit. (A), idemSulle funzioni automorfe, ecc. (Ann. di Matem., 1904), idemApplicazioni analitiche dei gruppi, ecc. Mem. dell'Acc. Gioenia, Sez. 4, Tom. 17. Citerò questa Nota con (B), diPoincaré,Sur une classe nouvelle de trascendantes uniformes. Journal de Liouville, 1890. Citerò questa Mem. con (Po), diPicard,Sur une classe de trascendantes nouvelles. Acta Mathem., Tomi 18 e 23. Citerò questa Mem. con (Pi), diE. Levi,Ricerche sulla teoria delle funzioni automorfe. Rend. della R. Acc. dei Lincei. Dicembre, 1906. La pubblicazione di questa Nota ebbe luogo, quando il presente lavoro era già in corso di stampa.Google Scholar
  3. (*).
    Sulla costruzione dei campi fondamentali, ecc. Annali di Matematica, 1906.Google Scholar
  4. (*).
    Bisognerebbe, è vero, dimostrare di più che si possono scegliere lef, ϕ e la costantep in guisa che la funzionez, definita da (2) non sia costante. Mą ciò si compie nei casi qui sotto studiati con grande facilità. (Cfr. i citati lavori diPicard sulle funzioni iperfuchsiane.)Google Scholar
  5. (**).
    Per il significato della parola « metrica » cfr.Bianchi,Lezioni di Geom. differenz., 2.a ediz., Tom. I.Google Scholar
  6. (*).
    Le metriche Hermitiane furono da me date la prima volta in una Mem. dell'Acc. Gioenia di Catania (Ser. 4, Vol. 17) e più estesamente in una Nota dell'Istituto Veneto di Scienze, ecc. (1904, Tom. 69), che hanno rispettivamente per titolo:Sulla teoria delle forme quadratiche, Hermitiane, ecc. eSulle metriche definite da una forma Hermitiana. Esse furono più tardi ritrovate dalloStudy nel vol. 60 deiMath. Ann. Ad alcune, secondo me, ingiustificate obbiezioni rivolte dalloStudy alla mia trattazione io risposi in una breve Nota pubblicata nelBoll. dell'Acc. Gioenia.Google Scholar
  7. (*).
    Può essere interessante anche lo studio del caso, in cuiG è un gruppo di movimenti euclidei (le metriche euclidee sono caso limite di metriche Hermitiane) o in particolare del caso in cuiG è un gruppo di traslazioni. Specialmente notevole, perchè intimamente connesso alla teoria delle serieϑ, è il seguente caso particolare del nostro problema fondamentale:Siano date n variabili x e 2 n sistemi di periodi a i1, …, ain (i=1, 2, …, 2 n) tali che esistano funzioni uniformi y della x, 2 n volte periodiche, che ammettano appunto i dati sistemi di periodi, e che non abbiano singolarità essenziali a distanza finita, le quali saranno perciò invarianti per un gruppo G di traslazioni. Sia Γ un gruppo di trasformazioni lineari intere omogenee su m variabili z1, z2, …, zm, e isomorfo a G. Si costruiscano m funzioni z1, z2, …, zm (zetaiperellittiche)uniformi delle x, le quali, quando le x subiscono una trasformazione di G, subiscono la trasformazione corrispondente di Γ. Pern=1 il problema è già stato risoluto (Gfr.Schlesinger,Handbuch der linearen Differentialgleichungen, Bd. II, XVII Abschnitt, V Kapitel). La generalizzazione al caso din qualunque è così facile ed ovvia, che mi pare inutile l'esporla. Si troverebbe ancora che il problema in discorso si riduce a determinare delle funzioniz, le quali, per le trasformazioni diG, o subiscono l'aumento di una costante additiva, o restano moltiplicate per un fattore costante. E, come ley sono esprimibili mediante serieϑ, si troverebbe che queste funzioniz si possono esprimere mediante combinazioni lineari di funzioniϑ, e di derivate logaritmiche di tali funzioni. A noi basterà ricordare che la risoluzione dell'attuale problema si compie, per mezzo ditrascendenti ben note, e non porta quindi a nuove classí di funzioni.Google Scholar
  8. (*).
    Cfr.Schlesinger,Theorie der lin. D., B. 2, II Theil, S. 108, 351.Google Scholar

Copyright information

© Swets & Zeitlinger B. V. 1908

Authors and Affiliations

  • Guido Fubini
    • 1
  1. 1.Genova

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