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Rappresentazione geodetico-proiettiva fra due superficie

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Literatur

  1. (2)

    I risultati qui accennati sono dovuti aG. Fubini; all'elenco dei suoi numerosi lavori sostituisco la citazione delleLezioni di Geometria Proiettiva Differenziale redatte insieme adE. Cech (di prossima pubblicazione presso la Ditta N. Zanichelli). Il modo ricordato d'introdurreF 3 edF 2 è delCech:I fondamenti della geometria proiettivo-differenziale secondo il metodo di Fubini. (Annali di_Matematica, 31 (3), 1923, pp. 251–278);Étude analytique de l'élément linéaire projectif d'une surface. (Publications de la Faculté des Sciences de l'Université Masaryk, Brno, 1924, pp. 1–24). Per applicabilità (o deformazione) proiettiva di una superficie s'intende una trasformazione puntuale tale che a curve della superficie data i cui piani osculatori in un punto formino fascio corrispoudano sempre sulle trasformate curve dotate della stessa proprietà. La nozione di applicabilità proiettiva è dovuta pure alFubini, la definizione qui riportata alCech.

  2. (3)

    Queste geodetiche sono state considerate quasi contemporaneamente dalFubini:Aleuni risultati di geometria proiettiva differenziale, § 10 (Rendiconti della R. Accademia dei Lincei, s. 5, vol. XXXII (19232), pp. 273–279 e 321–326), dalCech:Sur les géodesiques projectives (Rendie. della R. Accademia dei Lincei, s. 5, vol. XXXIII (19241), pp. 15–16) e da me:Nozioni di geometria proiettivo-differenziale relative ad una superficie dello spazio ordinario (Rendiconti della R. Accademia dei Lincei, s. 5, vol. XXXIII (19241), pp. 85–90; io ho mostrato come da essa si possa ricavare in modo geometrico semplice lanormale proiettiva diFubini. Il significato geometrico diF 3/F 2 è stato trovato in vari modi dalCech:Sur la géométrie d'une surface et sur le facteur arbitraire des coordonnées homogènes (Rendic. della R. Accademia dei Lincei, s. 5, vol. XXXI (19222), pp. 475–478) e da me:Determinazioni proiettivo-differenziali relatire ad una superficie dello spazio ordinario (Alti della R. Accademia delle Scienze di Torino, vol. LIX (19241), pp. 409–429); eLe forme di Fubini nella teoria proiettiva delle superficie (Rendie. del R. Istituto Lombardo, vol. LVII (19242), pp. 677–683).N 2=|X, x, x r, xuv|, l'equazione del piano osculatore alla lineav=v(u) è\(\left( 2 \right) T\left\{ {\beta - \gamma v'^3 - \left( {\frac{{\partial \log \beta \gamma }}{{\partial u}} - \frac{{\partial \log \beta \gamma }}{{\partial v}}v'} \right)v' + v''} \right\} + 2\left( {N_1 + N_2 v'} \right)v' = 0\) e si calcoli il coefficiente diT in una direzione diSegre, tenendo conto della (9); esso risulta nullo. L'ultimo enunciato vale ancora se al posto della geodetica proiettiva si considera un'estremale di\(\int {\sqrt[3]{{\varphi _3 }} ove \varphi _3 = \beta \gamma \left( {\beta du^3 + \gamma dv^3 } \right)} \) è la forma enbica normale diFubini. Qualunque sia la superficie, anche non soddisfacente la (9), valgono i teoremi seguenti:I piani osculatori alle tre geodetiche proiettive uscenti da un punto della superficie nelle direzioni di Segre formano fascio intorno ad una retta del piano canonico, caratterizzata da λ=−3/8 (λ ha il significato dato nella nota (5).I piani osculatori alle tre estremali di \(\int {\sqrt[3]{{\varphi _3 }}} \) tangenti in un punto alle linee di Segre passauo per la direttrice di Wilczyuski (λ =−1/2).

  3. (8)

    Nella mia Nota:Contributo alla geometria proiettivo-differenziale di una superficie (Bollettino dell'Unione Matematica Italiana, a. III (1924), n. 2, 3; pp. 49–56, 97–100); n. 7, 9, 10, 14.

  4. (12)

    Cfr. la mia Nota:Contributo alla geometria ecc., già citata in (8), n. 10.

  5. (13)

    Cfr. leLezioni, già citate in (2), diFubini eCech, cap. I, § 6,C). Un altro significato diN(v) si avrebbe introducendo l'arco proiettivo della asintoticau=∞; cfr. ibidem, § 7.

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Bompiani, E. Rappresentazione geodetico-proiettiva fra due superficie. Annali di Matematica 3, 171–188 (1926). https://doi.org/10.1007/BF02418649

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