Acta Mathematica

, Volume 30, Issue 1, pp 145–174 | Cite as

Une méthode géométrique élémentaire pour l’étude de certaines questions de la théorie des courbes planes

  • Helge von Koch
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Literatur

  1. 2.
    Voir Journ. f. Math., t. 79 (1875).Google Scholar
  2. 3.
    Parmi ces tentatives nous citerons celles d’Ampère (J. éc. pol. cah. 13) deBertrand (Traitè de C. diff. et intégr.; t. 1) et deGilbert (Brux. mém. 8°, t. 23 (1872)). — On trouve des notices historiques et bibliographiques dans l’ouvrage deM. E. Pascal: Esercisi e note crit. di calcole infinitesimale p. 85–128. Milano 1895. — Voir aussi Encyklopädie der Math. Wiss. II. A. 2, p. 63 et l’ouvrage deM. Dini (traductionLüroth-Schepp): Grundlagen für eine Theorie der Functionen einer veränderlichen reellen Grösse, p. 88 suiv., p. 205–229.Google Scholar
  3. 1.
    Parmi les nombreux exemples analogues qui ont été publiés après celui deWeierstrass, il n’y a aucun, à ma connaissance, auquel ne s’applique la même remarque. Un essai deC. Wiener (Journ. f. Math, t. 90, p. 221; Cf.Weierstrass,Functionenlchre, p. 100) d’élncider géométriquement la courbe définie par la fonction deWeierstrass ne suffit pas, semble-t-il, pour lever la difficulté dont il s’agit.Google Scholar
  4. 2.
    J’emprunte cette expression à une conférence de M. Klein sur le caractère mathématique de l’intnition de l’espace (1893).Google Scholar
  5. 1.
    Analytiquement, la dernière condition revient à supposer les coordonnées cartésiennesu, v d’un point de la courbe exprimables en fonctions continues par rapport à un paramètre.Google Scholar
  6. 1.
    Nous considérons la direction deK versK′ comme la direction positive de la sécanteKK′ siK′ succède K sur la courbe, ce qui détermine la direction positive de la tangenteT.Google Scholar
  7. 2.
    Ce théorème simple, que nous n’avons pas rencontré ailleurs, est d’une grande utilité dans la suite. La démonstration est immédiate. En effet, siK est précédé parL et succédé parM, LK etKM coïncident, à la limite, avec la direction positive deT, donc l’angle formé par ces directions tend vers zéro; or, cet angle étant supérieur à l’angleKLM, ce dernier tend aussi vers zéro, ce qui prouve queLM coïncide, à la limite, avec la direction positive deT.Google Scholar
  8. 1.
    D’après la terminologie deM. G. Cantor,S′ est la première dérivée deS. D’après ce qui a été dit plus haut il résulte que tout point deS appartient àS′. Dire qu’un pointK appartient àS′ revient donc à dire que c’est ou un sommet ou un point limite des sommets.Google Scholar
  9. 2.
    Réciproquement tout point deS′ appartient àP, c’est-à-dire on aP=S′, ce qui résulte facilement des résultats que nous allons établir.Google Scholar
  10. 1.
    Cf. les définitions adoptées au début.Google Scholar
  11. 1.
    Voir l’introduction.Google Scholar
  12. 1.
    Nous laissons indécidé, dans ce qui suit, s’il peut y avoir des valeursx où la dérivée est déterminée maisinfinie.Google Scholar

Copyright information

© Beijers Bokförlagsaktiebolag 1906

Authors and Affiliations

  • Helge von Koch
    • 1
  1. 1.Stockholm

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