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Un teorema di esistenza della soluzione del problema di Cauchy nella classe delle funzioni assolutamente continue nelle singole variabili

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Sunto.

È dimostrato un teorema di esistenza per il problema di Cauchy relativo ai sistemi semilineari di tipo iperbolico in due variabili indipendenti

$$\sum\limits_{j = 1}^m {a_{ij} \left( {x,y} \right)\left\{ {p_j + \varrho _i (x,y)q_j } \right\} = f_i \left( {x,y,z_1 ,...,z_m } \right)} , \left( {i = 1,...m} \right)$$
((I))

, in una nuova, ampia classe funzionale: la soluzione è ricercata nel campo funzionale costituito dalle m-ple di funzioni zj(x, y), (j=1, ..., m), le quali sono assolutamente continue nelle singole variabili x, y separatamente e soddisfano il sistema(I) quasi ovunque. Sono costruiti inoltre due controesempi, che giustificano le ipotesi introdotte, ed è dimostrato un lemma, relativo alle equazioni differenziali ordinarie, utilizzato nella dimostrazione del teorema di esistenza.

Bibliographie

  1. (1)

    M. Cinquini Cibrario,Teoremi d'esistenza per sistemi semilineari di equazioni a derivate parziali in più variabili indipendenti, Annali di Mat., S. IV,68 (1965), pp. 119–160.

  2. (1)a

    M. Cinquini Cibrario,Teoremi di esistenza per sistemi di equazioni quasi lineari a derivate parziali in più variabili indipendenti, Annali di Mat., S. IV,75 (1967), pp. 1–46.

  3. (1)b

    M. Cinquini Cibrario,Teoremi di unicità per sistemi di equazioni a derivate parziali in più variabili indipendenti, Annali di Mat., S. IV,48 (1959), pp. 103–134.

  4. (2)b

    Cfr.C. Carathéodory,Vorlesungen über reelle Funktionen, Leipzig (1918), Kap. XI, pp. 665–688.

  5. (3)

    Cfr.M. Cinquini-Cibrario,Sistemi di equazioni a derivate parziali in più variabili indipendenti, Annali di Mat., (IV),44 (1957), pp. 357–418, § 1, n. 1.

  6. (4)

    Relativamente alla (8′) e alle proprietà di monotonia delle funzionig i (...) cfr.M. G. Cazzani Nieri,Su un problema misto per un sistema di equazioni a derivate parziali, Annali di Mat., (IV),77 (1967), pp. 131–178; cfr. p. 137.

  7. (5)

    L'insieme dei punti diD 0 in cui esistono le derivate parziali diZ i (x, y) è misurabile e ha la stessa misura diD 0. Cfr. l.c. in (2), Kap. XI, § 557, Satz 1; § 559, Satz 3.

  8. (6)

    Cfr. l.c. in (3), § 1, n. 2, p. 363. Cfr. ancheH. Rademacher,Über partielle und totale Differenzierbarkeit von Funktionen ..., Math. Ann.,79 (1919), pp. 340–359.

  9. (7)

    Cfr.G. Scorza Dragoni,Un'osservazione sulla derivata di una funzione composta, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova,20 (1951), pp. 462–467.

  10. (7)a

    Cfr. la prima memoria citata in (1), § 1, n. 2b).

  11. (15)

    Cfr.M. Cinquini Cibrario - S. Cinquini,Equazioni a derivate parziali di tipo iperbolico, Monografie Matematiche del C.N.R., no. 12, Edizioni Cremonesi, Roma (1964); cap. IV, § 2, n. 9 δ), pp. 352–353; cfr. in particolare la (80).

  12. (16)

    Viene utilizaato il lemma di Gronwall generalizzato, cfr.G. Sansone -R. Conti,Equazioni differenziali non lineari, Monografie Matematiche del C.N.R., Edizioni Cremonesi, Roma (1956), cap. I, § 2, n. 1, pp. 15–16.

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Entrata in Redazione il 9 marzo 1976.

Lavoro eseguito nell'ambito del G.N.A.F.A. del C.N.R. I risultati ottenuti nel presente lavoro sono stati comunicati a Cagliari, in occasione del X Congresso U.M.I., 22–28 settembre 1975.

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Grazia Cazzani Nieri, M. Un teorema di esistenza della soluzione del problema di Cauchy nella classe delle funzioni assolutamente continue nelle singole variabili. Annali di Matematica 113, 127–171 (1977). https://doi.org/10.1007/BF02418370

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