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Sopra la semicontinuità degli integrali curvilinei dei problemi variazionali in forma parametrica di ordinen

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Sunto.

Si considerano gli integrali curvilinei dello spazio in forma parametrica dipendenti dagli elementi differenziali dei primi n ordini (n>3). Usufruendo di una relazione fondamentale, che ha formato oggetto di una Nota preliminare dell'A., si dimostra una condizione necessaria per la semicontinuità di tali integrali, dalla quale seguono altre condizioni necessarie per la semicontinuità e per la continuità: tali teoremi estendono al caso n>2 risultati già stabiliti dall'A. per n=2. Inoltre, mediante la relazione fondamentale citata, si perviene ad alcune estensioni di condizioni sufficienti per la semicontinuità, stabilite da altri A.A.

Bibliographie

  1. (2)

    VediN. Berruti Onesti,Sopra una classe di problemi variazionali di ordine n, Annali di Matematica pura ed applicata, S. IV,91 (1972), pp. 129–161;Sopra la semicontinuità di una classe di integrali curvilinei per problemi variazionali di ordine n, Rend. Istituto Lombardo, Accademia di Scienze e Lettere,106 (1972), pp. 365–396;Sopra l'esistenza dell'estremo assoluto per una classe di problemi variazionali di ordine n, Rend. del Circolo Matematico di Palermo, in corso di stampa. In particolare per i coefficienti (2) cfr. il lavoro citato per primo.

  2. (3)

    VediM. Borgogno,Sopra una condizione necessaria per la semicontinuità degli integrali nei problemi variazionali in forma parametrica di secondo ordine, Rend. Istituto Lombardo, Accademia di Scienze e Lettere,107 (1973), pp. 473–502;Sopra le condizioni necessarie per la semicontinuità degli integrali dei problemi variazionali in forma parametrica di secondo ordine, ibidem,108 (1974), pp. 228–261. Nel seguito, per brevità, indicheremo questo secondo lavoro con la notazione M. 2a.

  3. [4]

    M. Borgogno,Sopra una relazione per gli integrali curvilinei dei problemi variazionali in forma parametrica di ordine n, Rend. Istituto Lombardo, Accademia di Scienze e Lettere,109 (1975), pp. 273–280.

  4. [5]

    VediS. Cinquini,Sopra una estensione di alcuni risultati di Calcolo delle Variazioni, Rend. Istituto Lombardo, Accademia di Scienze e Lettere,107 (1973), pp. 44–60. Vedi ancheN. Berruti Onesti,Sopra le estremali relative ad integrali curvilinei dello spazio in forma parametrica, Annali di Matematica pura ed applicata, S. IV,52 (1960), pp. 79–106 (in particolare n. 6, pp. 92 e 94)

  5. (6)

    Pern=2 en=3, vediS. Cinquini,Sopra l'esistenza dell'estremo per una classe di integrali curvilinei in forma parametrica, Annali di Matematica pura ed applicata, S. IV,49 (1960), pp. 25–72 (in particolare, cap. I, § 2, pp. 33–40 e cap. II, § 2, pp. 54–58);Sopra la semicontinuità di una classe di integrali del calcolo delle variazioni, I e II, Bollettino U.M.I., (4),11, Suppl. fasc. 3 (1975), pp. 574–588 e (4),12, Suppl. fasc. 3 (1975), pp. 106–116. Pern>3, vediN. Berruti Onesti, luogo cit. per secondo in (2).

  6. (7)

    Cfr. luogo cit. in (5), n. 2 e n. 9.

  7. (8)

    S. Cinquini, luogo cit. per secondo in (6), n. 7

  8. (9)

    S. Cinquini, luogo cit. per secondo in (6), n. 7 e luogo cit. in (5), n. 4.

  9. (10)

    Per i nn. 1; 2,α),ε); 4; 5 vediS. Cinquini, luogo cit. per primo in (6) (in particolare § 1, nn. 1–7 e § 3, nn. 22–26); eN. Berruti Onesti, luogo cit. per primo in (2) (in particolare § 1, nn. 1–7) e luogo cit. per secondo in (2), § 1. Completamente nuove sono le considerazioni dei nn. 2,γ),ξ).

  10. (13)

    Vedi per esempioS. Cinquini,Sopra il problema dell'approssimazione delle curve dello spazio e degli integrali. Annali di Matematica pura ed applicata, (IV),54 (1961), pp. 335–358 (in particolare § 1, n. 1,d)).

  11. (14)

    Cfr.N. Berruti Onesti, luogo cit. per primo in (2), § 2, n. 7.

  12. (19)

    Vedi luogo cit. in (5), n. 3,a), pp. 49–50.

  13. (20)

    VediS. Cinquini, luogo cit. per primo in (6), n. 5,c) ed).

  14. (25)

    Cfr.S. Cinquini,Sopra le condizioni necessarie per la semicontinuità degli integrali dei problemi variazionali di ordine n, Annali della R. Scuola Normale Superiore di Pisa, Serie II,6 (1937), pp. 149–178 (vedi in particolare il § 4, pp. 168–177).

  15. (26)

    Cfr.S. Cinquini, luogo cit. in (25), § 4, n. 9 e ancheS. Cinquini,Sopra le condizioni necessarie per la semicontinuità degli integrali dei problemi variazionali in forma parametrica di ordine superiore, Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, Serie II,14 (1945), [1948], pp. 1–19 (in particolare n. 2, pp. 8–9). Vedi inoltreM. Borgogno, M. 2a, n. 2,b), pp. 238–240.

  16. (40)

    Cfr.M. Borgogno, M. 2a, nn. 6–7, pp. 258–261.

  17. (46)

    VediS. Cinquini, luogo cit. per secondo in (6) (in particolare n. 7).

  18. (47)

    Vedi n. 3 del presente lavoro.

  19. (48)

    Vedi luogo cit. in (5) (in particolare n. 4, pp. 54–57).

  20. (49)

    Cfr.S. Cinquini, luogo cit. per primo in (6), n. 12.

  21. (50)

    L. Tonelli,Su gli integrali del Calcolo delle Variazioni in forma ordinaria, Annali della Scuola Normale Sup. di Pisa, S. II,3 (1934), pp. 401–450 (in particolare n. 3). Vedi ancheS. Cinquini, luogo cit. in (5), n. 5.

  22. (51)

    VediN. Berruti Onesti, luogo cit. per primo in (2), n. 9.

  23. (52)

    Basta ripetere la dimostrazione del luogo cit. in (49).

  24. (53)

    Cfr.S. Cinquini, luogo cit. in (5), n. 6,b). Vedi ancheN. Berruti Onesti, luogo cit. per ultimo in (2), n. 4.

  25. (55)

    VediS. Cinquini, luogo cit. per primo in (6), n. 11.

  26. (56)

    Vedi luogo cit. per primo in (2), n. 10.

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Entrata in Redazione il 7 aprile 1976.

Lavoro eseguito nell'ambito del G.N.A.F.A. del C.N.R.

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Borgogno, M. Sopra la semicontinuità degli integrali curvilinei dei problemi variazionali in forma parametrica di ordinen . Annali di Matematica 113, 53–97 (1977) doi:10.1007/BF02418367

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