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Annali di Matematica Pura ed Applicata

, Volume 33, Issue 1, pp 353–366 | Cite as

Sulla costruzione a priori delle trecce caratteristiche

  • Oscar Chisini
Article

Sunto.

Si dimostra che: la treccia caratteristica relativa ad una curva ϕ, variabile con un parametro λ, dotata di tre cuspidi, la quale, all'annullarsi di λ, si riduca ad una curva γ contata due volte con un punto di diramazioneO e a una parte residua ϕ tangente a γ inO, per il tratto corrispondente alle tre cuspidi ha necessariamente una certa forma determinata (e data in figura). Questo accade sia quando la curva ϕ è di diramazione per un piano multiplo (ed è il caso inizialmente considerato perchè il più interessante ed ha, in sostanza, valore generale) sia quando la ϕ è una curva qualunque (caso facilmente riducibile al precedente).

Literatur

  1. (2).
    Dieiamo brevemente che un puntoO è di diramazione per la parte doppia (γ) di una curva ϕ0(xy)=ϕ(xy) · γ2(xy)=0, quando, in un passaggio al limite che sia determinato, esso sia limite di un punto di contatto di una ϕ(xy)=0 irriducibile, che tenda alla ϕ0, con una tangente parallela all'assey, cioèO abbia un'ascissa limite di un punto di diramazione dellay(x) definita dalla ϕ(xy)=0. In un tale puntoO prima del limite si hanno due fatti: collegamento di due valori dellay(x) definita dalla ϕ(xy)=0; torsione di mezzo giro dei due fili della treccia rappresentativi dei due valori dellay(x), ordinate dei due punti (variabili) della ϕ che vengono a coincidere su γ. Anche quando sono venuti a coincidere, i due fili conservano tale torsione. Pertanto, in relazione alla treccia, punto di diramazione significa punto (centro del tratto) in cui due fili hanno la torsione di mezzo giro. Si noti che anche per la curva limite spezzata con parti doppie nella traccia i due fili possono rimanere staccati. Essi però devono avere io stesso comportamento rispetto a qualunque altro filo (della ϕ o della γ stessa). Al limite il punto di ϕ (che ha per ascissa un punto) di diramazione della parte doppia diviene (o rimane) centro di un fascio che si stacca (o rimane staccato) dall'inviluppo della ϕ. Per una analisi algebrico-geometrica (non topologica) di questa forma di degenerazione di una curva ϕ e del relativo inviluppo, cfr.O. Chisini,Sulla riducibilità dell'equazione tangenziale di una superficie dotata di una curva doppia, « Rend. Acc. Lincei », 1917.Google Scholar

Copyright information

© Swets & Zeitlinger B. V. 1952

Authors and Affiliations

  • Oscar Chisini
    • 1
  1. 1.Milano

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