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Problemi al contorno per equazioni di tipo ellittico a derivate parziali e questioni di calcolo delle variazioni connesse

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Sunto.

Si dimostra l'esistenza di soluzioni di equazioni differenziali del 4° ordine di tipo ellittico, lineari e non lineari, a derivate parziali inn variabili soddisfacenti a condizioni che fissino i valori della soluzione e della sua derivata normale al contorno. Le equazioni che si considerano sono equazioni diEulero di integrali multipli dipendenti dalle derivate di secondo ordine e per tali integrali si dimostrano anche alcuni teoremi di esistenza del minimo assoluto in opportune classi di funzioni.

Literatur

  1. (1)

    Per alcune considerazioni generali cfr.M. Picone, « Giornale di Matematiche » di Battaglini, vol. 80 (1950) e una mia Nota lincea:Gli integrali doppi del calcolo delle variazioni (1950).

  2. (2)

    L. Tonelli,L'estremo assoluto degli integrali doppi, « Annali Scuola Normale Superiore di Pisa », s. II, vol. II, pp. 89–130.

  3. (3)

    C. B. Morrey,Multiple integral problems in the calculus of variations and related topics, « Univ. California Publ. Math. », (n. s.), I, pp. 1–130 (1943); cfr. i lavori citati nella nota (5) [A], [C].

  4. (4)

    Cfr. il lavoro citato per primo nella nota (24).

  5. (5)

    Richiamerò frequententemente risultati conseguiti nei seguenti lavori: [A]Sopra una classe di funzioni in due variabili. Applicazioni agli integrali doppi del calcolo delle variazioni, « Giornale di Matematiche » di Battaglini, vol. 79 (1949- 0), pp. 169–208. [B]Problema di Dirichlet e proprietà qualitativa della soluzione, ibidem. vol. 80 (1951), pp. 226–237. [C]Sopra una classe di funzioni in nvariabili, « Ricerche di Matematica » dell'Istituto di Matematica dell'Università di Napoli, vol. I (1952), pp. 27–54, e li indicherò nel seguito con le lettere [A], [B], [C].

  6. (6)

    Cfr. [C], n. 2, pp. 37–39, teor. 2-IV.

  7. (8)

    Per le considerazioni di questo numero cfr. [C], n. 5, pp. 48–51 ed anche [A], n. 5, pp. 182–184.

  8. (9)

    Per la definizione di funzioni della classe A(2) cfr. [C]. pp. 34–35. Ricordiamo qui che tali funzioni sono assolutamente continue rispetto alle variabili per quasi tutte le (n−1)-ple delle rimanenti variabili e le derivate prime sono di quadrato sommabile.

  9. (10)

    Questo teorema nell'ipotesi chef sia continua con le derivate prime nell'interno diT e sommabili inT è stato dimostrato daG. Fichera,Sull'esistenza e sul calcolo della soluzione dei problemi al contorno relativi all'equilibrio di un corpo elastico, « Annali Scuola Normale Superiore di Pisa ». s. III, vol. IV (1950), teor. XXXII, (pp. 35–99), p. 78.

  10. (11)

    Cfr. anche [B], n. 2, pp. 234–237.

  11. (12)

    Nel caso chen=2 cfr. [A], n. 10, p. 198; nel caso generale cfr. i teoremi del n. 2 di [C].

  12. (13)

    Cfr. [C], teorema 2-II, p. 35.

  13. (16)

    R. Caccioppoli,Limitazioni integrali per le soluzioni di un'equazione lineare ellittica a derivate parziali, « Giornale di Matematiche », di Battaglini, vol. 80, pp. 186 212. n. 10, p. 17, formula (12).

  14. (17)

    Per la bibliografia rimando al lavoro citato in (16). Il lavoro diK. D. Friedrichs va segnalato perchè in esso viene risolto il problema in questione per l'equazione diPoisson.

  15. (18)

    Ciò si ottiene considerando le funzioni definite come i polinomi diStieltjes con la differenza che l'integrazione è estesa a Γ, ponendo:\(\varphi _m (x) = \frac{1}{{k_m }}\int\limits_\Gamma {\varphi (y)(1 - \overline {xy} ^2 )^m d_y \sigma } \) ove:\(x \equiv (x_1 ,...,x_n ),y \equiv (y_1 ,...,y_n );\overline {xy} ^2 = \mathop \Sigma \limits_{i = 1}^n (x_i - y_i )^2 ek_m = \int\limits_0 {(1 - \mathop \Sigma \limits_{i = 1_n^m }^{n - 1} } \xi _i ^2 )^m d\xi _1 ...d\xi _{n - 1} \) con\(\Omega _i :\mathop \Sigma \limits_{i = 1}^{n - 1} \xi _i ^2 \leqslant 1\) La proprietà essenziale dei polinomi diStieltjes — il valore del polinomio in un punto dipende essenzialmente dai valori della funzione nell'intorno di questo — si conserva per le funzioni ϕ m (x). Cfr.G. Stampacchia,Approssimazione di una funzione su una superficie, « Rend. Acc. Scienze fisiche e mat. di Napoli » (1952).

  16. (19)

    Cfr. [B], n. 2, p. 229.

  17. (20)

    Loc. cit. in (16), n. 10, p. 17.

  18. (23)

    Cfr. [C], teor. 4–III, p. 38.

  19. (24)

    Con ciò intendiamo che tale funzione, come funzione dei parametri locali di Γ, soddisfi alle condizioni α), β) e γ) del § 1, n. 1. Questo teorema completa alcuni risultati dimostrati in un precedente lavoro:Alcuniteoremi sull'estremo assoluto degli integrali doppi del calcolo delle variazioni dipendenti dalle derivate del secondo ordine. « Giornale di Matematiche » di Battaglini, vol. 77 (1947) pp. 33–54. Già ivi il problema era di studiare integrali del tipo di quelli qui considerati, cioè dipendenti essenzialmente dal quadrato di un operatore ellittico invece che da una forma quadratica definita delle derivate del secondo ordine. Nel lavoro citato i risultati supponevano che valesse la (3) (conE(u)=δ2 u) con un esponente più grande di 2 e ciò impediva di includere in esse integrali che si collegano alle equazioni della Fisica Matematica. Mi è stato ora possibile superare le difficoltà con la considerazione delle questioni sviluppate precedentemente in [A], [B], [C]. Relativamente a queste considerazioni va ricordato un risultato diG. Fichera,Esistenza del minimo in un classico problema di calcolo delle variazioni, « Rend. Accad. Naz. Lincei », s. VIII, vol. XI (1951), pp. 34–39 ed uno diK. Friedrichs,Die Randwert-und Eigenwertprobleme aus der Theorie der elastichen Platten, « Math. Annalen », Band 98, pp. 205–247 (1928).

  20. (26)

    Per queste ultime considerazioni tendenti a studiare teoremi di esistenza del minimo assoluto per integrali non limitati inferiormente si vedano anche i risultati diS. Cinquini,Sopra gli integrali doppi del calcolo delle variazioni dipendenti d lle derivate del secondo ordine, « Rend. Istituto Lombardo di Scienze », vol. LXXXIV (1951). Non è difficile a questo punto considerare casi ancora più generali sfruttando anche risultati del tipo di quelli considerati daS. Cinquini,L'estremo assoluto degli integrali doppi dipendenti dalle derivate di ordine superiore, « Annali Scuola Normale Sup. di Pisa », vol. X (1941), pp. 215–248. Osserviamo ancora che, nel teorema IV, l'ipotesi che le funzioni della classe ϰ si riducano alla stessa funzione ϕ su Γ (o ciascuna di esse ad una funzione soddisfacente uniformemente alle ipotesi fatte su ϕ) non può del tntto eliminarsi conservando l'ipotesi (3′) o (3″) (cfr. loc. cit. per primo) e neppure la (3).

  21. (27)

    Cfr. primo capoverso dellanota (24). Il modo come le funzioni assumono i dati al contorno in questo senso è stato indicato dapprima daL. Amerio, Sull'integrazione delle equazioni lineari a derivate párziali del secondo ordine di tipo ellittico, « Acta pontificia Acad. Scientiarum », vol. IX (1945), p. 213–228 e generalizzato daG. Fichera. Cfr. anche:G. Cimmino,Nuovo tipo di condizioni al contorno, ecc. ecc., « Rend. Circ. Mat. Palermo », t. 61 (1937), pp. 177–221.

  22. (32)

    B. Pini, Sul problema di Dirichlet per le equazioni a derivate parziali del secondo ordine di tipo ellittico, « Bend. Accad. Naz. Lincei », s. VIII, vol. XI, (1951), pp. 325–333 ove sono citati anche i precedenti risultati diG. Cimmino.

  23. (33)

    Cfr. [B].

  24. (34)

    Cfr. quanto detto nella nota (30).

  25. (35)

    Cfr. loc. cit. (16) e per ulteriori generalizzazioni:D. Greco, Criteri di compattezza per insiemi di funzioni in nvariabili indipendenti, Ricerche di Matematica, vol. I (1952), pp. 124–143.

  26. (37)

    [C], teor. 3–V, VII.

  27. (38)

    R. Caccioppoli, Sui teoremi di esistenza di Riemann. « Annali Scuola Normale Sup. di Pisa ». (2), vol. VII, (1938), pp. 177–187.

  28. (39)

    Loc. cit. (32).

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I risultati principali di questa Memoria sono stati oggetto di una comunicazione al IV° Congresso dell'U.M.I. tenuto a Taormina nell'ottobre 1951,

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Stampacchia, G. Problemi al contorno per equazioni di tipo ellittico a derivate parziali e questioni di calcolo delle variazioni connesse. Annali di Matematica 33, 211–238 (1952). https://doi.org/10.1007/BF02418184

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