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Annali di Matematica Pura ed Applicata

, Volume 33, Issue 1, pp 145–164 | Cite as

Euklidische und nichteuklidische D-Linien auf Quadriken

  • Walter Wunderlich
Article

Zusammenfassung

Die auf einer Fläche 2. Ordnung verlaufenden Kurven, deren Schmieg kugeln die Fläche berühren, werden hier erstmalig vom synthetischen Standpunkt aus betrachtet. In einfachster Weise ergeben sich dabei nicht nur die wenigen bekannten, sondern auch zahlreiche neue geometrische Eigenschaften dieser im allgemeinen transzendenten Kurven, die gleichzeitig einer darstellend-geometrischen Behandlung zugänglich gemacht werden, — Die unschwer durchzuführende Übertragung der im euklidischen Raum herrschenden Beziehungen auf einen Raum mitCayley-Kleinscher Metrik weist auf manche interessanten Zusammenhänge hin.

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Literatur

  1. (1).
    G. Darboux, Des courbes tracées sur une surface, et dont la sphère osculatrice est tangente en chaque point à la surface, « Comptes rendus », 73, (1871), 732–736.zbMATHGoogle Scholar
  2. (2).
    Hinsichtlich des von den Ebenen τ eingehülltenKegels 5. Klasse, sowie der von den zugehörigen Krümmungskreisen erzeugtenzyklischen Fläche 10. Ordnung lese man die inhaltsreiche Abhandlung von G. Darboux, Sur le contact des courbes et des surfaces, « Bull. sci. math. astr. », (II), 4, (1880), 348–384.zbMATHGoogle Scholar
  3. (4).
    A. Pell,« D » lines on quadrics. « Transact. Amer. Math. Soc. », 1, (1900), 315–322.CrossRefzbMATHMathSciNetGoogle Scholar
  4. (5).
    A. Enneper,Bemerkungen über die Differentialgleichung einer Art von Kurven auf Flächen, « Nachr. Göttinger Ges. Wiss. », (1871), 577–583;J. G. Hardy,On Darboux lines on surfaces, « Amer. J. Math. », 20, (1898), 283–292. — Eine kurze Zusammenfassung bringtG. Loria,Curve sghembe speciali II, (Bologna, 1925), 225 ff.Google Scholar
  5. (6).
    W. Wunderlich, Über die Böschungslinien auf Flächen 2. Ordnung, « Sitzungsber. Akad. Wiss. Wien », 155, (1947), 309–331. — Vgl. auch die hieran anknüpfende Arbeit vonF. Fabricius-Bjerre,Über projektive Böschungslinien auf Flächen 2. Ordnung, « Danske Vid. Selsk., Mat. fys. Medd. », 25, (1950), 3–21zbMATHMathSciNetGoogle Scholar
  6. (7).
    W. Blaschke, Bemerkungen über allgemeine Schraubenlinien, « Mh. Math. Phys. », 19, (1908), 188–204.zbMATHMathSciNetGoogle Scholar
  7. (10).
    Vgl. hierzuW. Wunderlich, Über die Schleppkurven des Kreises, « Stizungsber. Akad. Wiss. Wien », 156 (1948), 155–173.zbMATHMathSciNetGoogle Scholar
  8. (11).
    W. Blaschke bewies a. a. O. (7), dass jede mit dem begleitenden Dreibein einer solchen Böschungslinie starr verbundeneEbene eine Torse einhüllt, deren Gratlinie eine zur ersten Kurveaffine Böschungslinie gleicher Art ist.Google Scholar
  9. (12).
    W. Wunderlich, Eine kennzeichnende Eigenschaft der D-Linien von Quadriken, « Mh. Math. », 55, (1951), 76–81. — Eine synthetische Ableitung der Affinität (5) enthält der Bericht des Verfassers:Beispiele für das Auftreten projektiver Böschungslinien auf Quadriken, « Mat. Tidsskr », 1901, 1–26.CrossRefzbMATHMathSciNetGoogle Scholar
  10. (13).
    E. Waelsch, Über das Normalensystem und die Zentrafläche der Flächen zweiter Ordnung, II. Mitt., « Sitzungsber. Akad. Wiss. Wien » 97, (1888), 1–8.Google Scholar
  11. (15).
    Vgl. z.B. L. Bieberbach,Analytische Geometrie, (Teubner, 1930), oderJ. G. Semple-L. Roth,Algebraic geometry, (Oxford, 1949). — Die homogenen Koordinatenx i (i=0, 1, 2, 3) eines Raumpunktes werden stets zu einerSpaltenmatrix x zusammengefasst. Bezeichnet\(\tilde x\) die durch Stürzung daraus hervorgehendeZeilenmatrix, so bedeutet\(\tilde xy = x\tilde y\) das innere Produkt Σx i y i. IstA eine vierzeiligequadratische Matrix mit den Elementena ik, so ist unterAx=y die Spaltenmatrix mit den Elementeny i=∑aikxk zu verstehen, unter\(\tilde x\tilde A\) hingegen die Zeilenmatrix\(\tilde y\). Die ProduktmatrixC=AB besteht aus den Elementenc ik=∑a ij b jk und es gilt die Stürzungsregel\(\tilde C = \tilde B\tilde A\). Für sinnvolle Produkte besteht das assoziative Gesetz.Google Scholar
  12. (16).
    BeiDrehflächen zerfällt die absolute Quartiku in zwei Kegelschnitte; ist einer davon nullteilig, so kann das Flächenpaar Φ, Ψ kollinear in zwei euklidischeKugeln übergeführt werden. Über den Verlauf der den D-Linien von Φ entsprechenden sphärischen Kurven handeln die Arbeiten vonA. Ranum,On spherical quasi-spherical curves, « Ann. di mat. », 7, (1929), 283–316 undE. J. Nyström,Die Umhüllungstorsen zweier Kugeln, « Soc. Sci. Fennica, Comm. phys. math. », 9, (1936), 1–15. Dass diese Kurven mit densphärischen Bündelloxodromen identisch sind, hat der Verfasser gezeigt:Über die Torsen, deren Erzeugenden zwei Kugeln berühren, « Soc. Sci. Fenn. », 14, (1949), 1–16.CrossRefGoogle Scholar
  13. (17).
    Diese nichteuklidischen Schraubungen wurden eingehend studiert vonK. Strubecker, Über die Schraubungen des elliptischen Raumes, « Sitzungsber. Akad. Wiss. Wien », 139, (1930), 421–450, und:Über nichteuklidische Schraubungen, « Mh. Math. Phys. », 38, (1931), 63–84. Vgl. auchW. Wunderlich,Darstellende Geometrie nichteuklidischer Schraubflächen, « Mh. Math. Phys. », 44, (1936), 249–279.zbMATHGoogle Scholar
  14. (18).
    W. Blaschke, Über die Geometrie von Laguerre III, « Abh. Math. Sem. Hamburg », 4, (1926), 1–12.Google Scholar
  15. (19).
    W. Wunderlich,Über die L-Torsen der Flächen 2. Klasse, « Arch. Math. »,im Druck.Google Scholar
  16. (20).
    G. Darboux,Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces algébriques, et sur la théorie des imaginaires, (Paris, 1873).Google Scholar
  17. (21).
    G. Darboux selbst hat a. a. O. (1) die D-Linien der Zykliden unter Benützung pentasphärischer Koordinaten durch hyperelliptische Integrale dargestellt. — Auf die D-Linien einer sehr speziellen Zyklide stiess der Verfasser bei seiner Untersuchung Über die polykonischen Loxodromen, « Ann. di mat. », 29, (1949), 177–186.CrossRefGoogle Scholar
  18. (22).
    K. Strubecker, Zur sphärischen Raumgeometrie, « Mh. Math. Phys. », 38, (1931), 275–290.zbMATHMathSciNetGoogle Scholar

Copyright information

© Swets & Zeitlinger B. V. 1952

Authors and Affiliations

  • Walter Wunderlich
    • 1
  1. 1.Wien

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