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Annali di Matematica Pura ed Applicata

, Volume 33, Issue 1, pp 91–118 | Cite as

Sui sistemi lineari appartenenti al prodotto di più varietà algebriche

  • Federico Gaeta
Article

Sunto.

Sopra una varietà\(W_t = V_{d_1 } \times V_{d_2 } \times ... \times V_{d_k } \) si definisce il prodotto |L | dik (≥2) sistemi lineari |L i | (appartenenti a\(V_{d_i } ;{\text{ }}i = 1,{\text{ }}2,...,{\text{ }}k\);. Questo prodotto gode di proprietà molto semplici, che permettono il calcolo di certi invarianti birazionali elementari diW t in funzione dei caratteri analoghi delle\(V_{d_i } \), nonchè alcuni utili orientamenti sul teorema diRiemann-Roch sullaW t e sulla costruzione dei relativi modelli minimi.

Literatur

  1. (1).
    V. Severi,Trattato di geometria algebrica, Zanichelli, Bologna, 1926, cap. VI.Google Scholar
  2. (2).
    Ved. loc. cit. precedentemente ove si trovano citati i lavori originali diSeveri e di altri sull'argomento. Ved. pureSeveri,Fondamenti per una teoria generale dei connessi, « Acta salmanticensia ». Altri lavori recenti in proposito sono dovuti aD. B. Scott,Pointcurve correspondences, « Proceedings Cambridge Phil. Soc. », 41, (1945), 42, (1946), 45, (1949).Google Scholar
  3. (3).
    C. Segre,Sulle varietà che rappresentano le coppie di punti di due piani o spazi, « Rend. Circ. mat. Palermo », 1891; « Math. Annalen », 1892.Google Scholar
  4. (4).
    V. Severi,Trattato cit. in (1), pag. 198.Google Scholar
  5. (5).
    V. Andreotti,Sulle corrispondenze fra due curve birazionalmente distinte a moduli generali e sui modelli minimi dei loro prodotti, « Rend. Acc. Lincei », s. VIII, Vol. IV, fasc. 6.Google Scholar
  6. (6).
    Maroni,Sulle superficie algebriche possedenti due fasci di curve algebriche unisecantisi. « Atti R. Accademia delle Scienze di Torino », 38, 1903.Google Scholar
  7. (7).
    Maroni,Intorno alla determinazione dei sistemi lineari di curve sopra le superficie rigate algebriche, « Rend. R. Istituto lombardo di scienze, lettere ed arti », s. II, vol. XXXVI, 1903.Google Scholar
  8. (8).
    Maroni,Sulla dimensione dei sistemi lineari sopra le varietà algebriche a k+1dimensioni contenenti un fascio di Sk, « Annali di Matematica », s. IV, t. V, 1928.Google Scholar
  9. (9).
    Non c'è nessun pericolo di confondere, pel senso ordinario, questoprodotto di sistemi lineari con prodottiL 1 ×L 2 × ... ×L k di varietà, perchè questi sono varietà atk (<t-1) dimensioni. D'altronde la totalità dei prodottiL 1 ×L 2 × ... ×L k quando ciascunL i varia in un sistema lineare nella relativa\(V_{d_i } \) è un sistema continuo irrilevante ai miei fini.Google Scholar
  10. (10).
    V. Castelnuovo,Sui multipli di una serie lineare di gruppi di punti appartenente ad una curva algebrica, « Rend. Circ. mat. di Palermo », 1893, riprodotto nelle sueMemorie scelte, Zanichelli, Bologna, 1937, mem. VIII, pag. 95. Cfr. ilTrattato citato diSeveri, pag. 105.Google Scholar
  11. (11).
    Per il teorema diRiemann-Roch per le superficie v.Severi,Serie, sistemi d'equivalenza e corrispondenze algebriche fra le varietà algebriche, (a cura diConforto eMartinelli), Ed. Cremonese, Roma, 1942, cap. VII, oppure,Enriques,Le superficie algebriche, Zanichelli, Bologna, 1949, cap. IV. Per le varietà superiori oltre alle induzioni diSeveri, contermate in casi particolari (ad es. per leW k+1=C×S k in (8)) si conosce soltanto per le varietà a tre dimensioni limitatamente a taluni sistemi lineari di superficie aggiunti di altri.V. Severi,Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche, « Rend. circ. mat. Palermo », t. XXVIII, 1909, pag. 33.Google Scholar
  12. (12).
    Picard-Simart,Théorie des fonctions algébriques à deux variables indépendantes, t. I, pag. 197. Lo stesso metodo è stato già applicato daSeveri per il prodotto di nna curva per una superficie nella sua memoria dei « Rend. di Palermo » precedentemente citata.Google Scholar
  13. (13).
    Che ilSeveri intitolaFondamenti per la geometria sulle varietà algebriche: seconda memoria, questi « Annali », s. IV, vol. XXXII, 1951, (1–81). Questo lavoro è stato esposto nelle lezioni di seminario tenute dal prof.Severi nell'Istituto Nazionale di Alta matematica, corso 1950–1951, Roma. In tale memoria si dà una sistemazione della teoria del genere geometrico introducendo con tutto il rigore i sistemi canonici (puro ed impuro); dimostrando che le varietà eccezionali ad-1 dimensioni sono parti fisse del sistema canonico impuro con l'ausilio della teoria delle funzioni analitiche a più variabili e l'invarianza assoluta del sistema canonico puro e quindi delP g.Google Scholar
  14. (14).
    Nella Memoria accennata nella precedente nota (13) il prof.Severi sviluppa altresì nei loro dettagli i risultati circa l'invarianza relativa del genere aritmetico d'una varietà ad un numero qualunque di dimensioni, da lui comunicata in una conferenza alla Harvard University il giorno 8 settembre 1950. È d'altronde ben noto che la stessa invarianza (anzi l'invarianza assoluta) fu dimostrata dalSeveri fin dal 1909, però sul fondamento d'un postulato da lui esplicitamente enunciato. Tuttavia ho rispettato la redazione originale del lavoro allo scopo di porre meglio in rilievo le ipotesi da cui sono partito. Ved. inoltre la memoria diZariski eH. T. Muhly,Hilbert's function and the arithmetic genus of an algebraic variety, « Transactions of the American mathematical Society », vol. 69, N. 1, pp. 78–88, luglio 1950, annunciata daZariski nella notaPostulation et genre arithmétique, pubblicata negli Atti del Colloquio internazionale di Algebra astratta tenutosi a Parigi, 1949.Google Scholar
  15. (15).
    V. Castelnuovo, loc. cit. in (10);Severi,Trattato cit. in (1).Google Scholar
  16. (16).
    Cfr.Severi,Introduzione alla Geometria algebrica (Geometria numerativa), Ed. Docet, Roma, fasc. II, 1951, pag. 153.Google Scholar
  17. (19).
    Questa è in essenza l'argomentazione adoperata dalMaroni perd 1=d 2=1 (v. loc. cit. in (3)).Google Scholar
  18. (20).
    Zariski,Some results in the arithmetic theory of algebraic varieties, « American Journal of Mathematics », t. 61, (1939), pag. 349.Google Scholar
  19. (21).
    H. T. Muhly,A remark on normal varieties, « Annals of Mathematics », t. 48, (1941), pag. 921.CrossRefMathSciNetGoogle Scholar
  20. (22).
    Hilbert, Über die Theorie der algebraischen Formen, « Math. Annalen », Bd. XXXVI, (1890), pp. 473–534.CrossRefzbMATHMathSciNetGoogle Scholar
  21. (23).
    Mem. cit. in (11).Google Scholar
  22. (24).
    Ved. la nota (13) al piè della pag. 95.Google Scholar
  23. (25).
    Mem. cit. in (11).Google Scholar
  24. (26).
    Ibidem, n. 30.Google Scholar
  25. (27).
    Ved. il n. 13, pag. 115.Google Scholar
  26. (28).
    V. nota (2) al piè della pag. 91. Ved. pureDe Franchis,Sulla varietà2 delle coppie di punti di due curve o di una curva algebrica, « Rend. Circ. mat. Palermo », t. XVII, 1903.Google Scholar
  27. (29).
    Ved.Severi,Fondamenti, ecc., Seconda Memoria (cit. nella nota (13)). In una qualsiasiV d (irriducibile e priva di punti multipli) una varietà canonica impuraK soddisfa l'equivalenza lineare:\(K = T - \mathop \Sigma \limits_{i = 1}^k (d_i + 1)A^i \) doveT è la varietà ad-1 dimensioni luogo dei contatti doppi dik varietàA i(una per ognii) appartenenti ak sistemi lineari infiniti di dimensionid i cond=d 1+d 2+...+d k.Google Scholar
  28. (30).
    Ved. in propositoSeveri,La base per le varietà algebriche di dimensione qualunque contenute in una data ..., ecc., « Mem. R. Acc. d'Italia », vol. 5, pp. 239–283, 1934.zbMATHGoogle Scholar
  29. (31).
    V. Severi, loc. cit. in (2) o le lezioni litografate cit. in (16).Google Scholar
  30. (32).
    Questi modelli normali non minimi del prodotto di più spazi lineari sono stati studiati con diversi nomi daTerracini, « Rend. Acc. Lincei », (1921),Godeaux, « Bull. Soc. Sciences de Liège », (1942),Bompiani, « Rend. Acc. Lincei », (1947), pag. 493 e seg.Google Scholar
  31. (33).
    Come ha dimostrato per primoSeveri, lit. cit. in (16).Google Scholar
  32. (34).
    Loc. cit. in (11), cap. VI, pag. 190 e seg.Google Scholar
  33. (35).
    V. Severi,Il punto di vista gruppale nei vari tipi di equivalenza sulle varietà algebriche. « Commentarii math. helvetici », vol. 21, (1948).Google Scholar
  34. (36).
    Ibidem, nonchè Complementi alla teoria della base per la totalità delle curve di una superficie algebrica, « Rend. Circ. Mat. Palermo », vol. 30, pp. 285–288, (1910).CrossRefGoogle Scholar
  35. (37).
    Il teorema dimostrato è un'ampia estensione del risultato che sopra una rigata astratta con generatrici tutte irriducibili la base è costituita da una generatriceR ed una direttrice (Ved.Severi, loc. cit. in (11), pag. 245). Potrebbe credersi, a priori che la proprietà dipendesse dalla razionalità diR; invece essa è consegnenza della solaregolarità diR !Google Scholar
  36. (38).
    Loc. cit. in (7) e (8).Google Scholar
  37. (39).
    V. Severi,Vorlesungen über algebraische Geometrie, Leipzig, Teubner, (1921) Anhang. G. pag. 380, oppureEnriques-Chisini,Lezioui sulla teoria geometrica delle equazioni e delle funzioni algebriche, Zanichelli, Bologna, vol. III, pag. 115.zbMATHGoogle Scholar
  38. (40).
    V. Loc. cit. in (6).Google Scholar
  39. (43).
    V. loc. cit. in (5).Google Scholar
  40. (44).
    V. libri citati in (39).Google Scholar
  41. (46).
    Loc. cit. in (11), cap. VI, pag. 265.Google Scholar

Copyright information

© Swets & Zeitlinger B. V. 1952

Authors and Affiliations

  • Federico Gaeta
    • 1
  1. 1.Madrid

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