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L'indicatrice proiettiva dei funzionali lineari e i predotti funzionali proiettivi

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Sunto.

Poichè le funzioni di più variabili complesse presentano particolarità profondamente differenti da quelle di una variabile, si studiano i funzionali analitici lineari delle funzioni di più variabili mediante la loro « indicatrice proiettiva », specialmente adatta a metterne in luce le più intime proprietà. Il valore del funzionale lineare per una funzioney viene così espresso mediante una nuova formazione (il « prodotto funzionale proiettivo »\(\mathop p\limits^\Delta \mathop y\limits^\Delta \) dell'indicatrice proiettivap per la funzioney variabile indipendente), la quale dipende bilinearmente e simmetricamente dalle due funzioni, e inoltre gode della notevole proprietà di restare invariata di fronte a tutte le coppie di trasformazioni proiettive duali che si effettuino contemporaneamente nei due spazi ove le due funzioni sono rispettivamente definite. Si mostra poi come il prodotto funzionale proiettivo possa calcolarsi, nel caso che le funzioni si decompongano in fattori, e infine si studiano alcuni operatori lineari (« monovalenti ») e alcuni funzionali lineari (« abeloidi ») particolarmente interessanti. Questi funzionali abeloidi, caratterizzati dal fatto di avere indicatrice proiettiva razionale, si calcolano infatti mediante integrali abeliani multipli e permettono l'integrazione di quasi tutte le equazioni a derivate parziali della fisica matematica (di quelle lineari e a coefficienti costanti).

Literatur

  1. (2)

    Di essi sarà utile consultare, per la comprensione di questo lavoro, solo i seguenti, che indicheremo in seguito con le lettere preposte a ciascuno: F. A. —I funzionali analitici, « Memorie Lincei », s. 6o, vol. 3o, fasc. 11, 1930.

  2. (2a)

    D. V. —I funzionali delle funzioni di due variabili, « Mem. Acc. d'Italia », vol. 2o, 1931, pp. 191–355.

  3. (2b)

    S. D. P. —Integrazione con quadrature dei sistemi a derivate parziali lineari e a coefficienti costanti in due variabili, mediante il calcolo degli operatori lineari, « Rend. Circ. Mat. di Palermo », t. 57, 1933, pp. 137–195.

  4. (2c)

    Pont. —Sulle soluzioni del problema di Cauchy per tutti i sistemi di equazioni a derivate parziali lineari e a coefficienti costanti, d'ordine qualunque, « Pont. Acc. », Commentationes, vol. 3o, n. 19, 1939, pp. 403–468.

  5. (2d)

    N. F. — Nuovi fondamenti della teoria dei funzionali analitici, « Mem. Acc. d'Italia », vol. 12o, n. 13, 1941, pp. 617–706.

  6. (1)

    La convenienza di tale punto di vista, non solo per la Geometria, ma anche per l'Analisi, è stata sostenuta dalSeveri, e riconosciuta poi anche dalBehnke, ed oramai adottata nelle più recenti ricerche sulle funzioni analitiche di più variabili. Cfr. in proposito i lavori seguenti:Severi,Conferenze di Geometria algebrica, Dispense lit., Roma, 1927–28, pag. 188 e seg.;Risultati, vedute e problemi nella teoria delle funzioni analitiche di due variabili complesse, « Rend. del Seminario mat. di Roma », 1932-X; nn. 20 e seg..

  7. (1a)

    Behnke u.Thullen,Theorie der Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen, « Ergebn. der Mathem. », 3 Bd., H. 3, Berlin, Springer, 1934.

  8. (1b)

    Osgood,Lehrbuch der Funktionentheorie, Bd. II, 1, cap. 1o, 17, Berlin, Teubner, 1929.

  9. (1)

    Risoluzione in termini finiti del problema di Cauchy, con dati iniziali su una ipersuperficie qualunque, « Rend. R. Acc d'Italia », s. 7a, vol. 2o, 1941.

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L'argomento di questa Memoria è stato sviluppato in una parte del mio corso di Alta Analisi del 1940–41, presso il Reale Istituto Nazionale di Alta Matematica.

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Fantappie, L. L'indicatrice proiettiva dei funzionali lineari e i predotti funzionali proiettivi. Annali di Matematica 22, 181–289 (1943). https://doi.org/10.1007/BF02418159

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