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Annali di Matematica Pura ed Applicata

, Volume 25, Issue 1, pp 1–41 | Cite as

Sul massimo numero di nodi di una superficie di dato ordine dello spazio ordinario o di una forma di un iperspazio

  • Francesco Severi
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L'A. si occupa d'un problema considerato da un secolo a questa parte da molti geometri, senza che tuttavia si fosse pervenuti finora alla soluzione, all'infuori dei particolari valori m=2, 3, 4 dell' ordine. Si tratta del massimo numeŕo di punti doppi conici che può acquistare una superficie d'ordine m dello spazio ordinario, senza acquistare una linea doppia. Occorrono per la ricerca i mezzi più elevati della geometria algebrica e la preparazione di molte interessanti proprietà accessorie delle varietà, per le quali poi si dà un cenno d'estensione del teorema trovato.

Literatur

  1. (1).
    L'ultima volta nel 1941. Ved. la rassegna del lavoro di Seminario dell'Istituto Nazionale di Alta Matematica in « Rendiconti di Matematica e delle sue applicazioni » (Edizioni Cremonese, Roma, 1941), vol. 25, pag. 229, questione 99.Google Scholar
  2. (2).
    Basset, « Nature », 1906; « Quart. Journal », 1907; « Geometry of surfaces », 1910;Lefschetz, « Trans. Amer. Math. Society », 1913;Hollcroft, « Bull. Amer. Math. Society », 1923, 1927, 1928; « Crelle », 1928; « Tôhoku Math. Journ. », 1929;Togliatti, vol. in onore di Ortu Carboni, 1936; vol. in onore di Fueter, 1940; e, per ciò che concerne le varietà ;Togliatti, vol. in onore di Berzolari, 1936; « Atti del I Congresso Un. Mat. Italiana », 1938.Google Scholar
  3. (3).
    Ved. la nota (5) a piè della pag. 5.Google Scholar
  4. (5).
    Non posson accettarsi le limitazioni più forti che discendono (conHollcroft) dal massimo numero di nodi imponibili ad una curva piana di dato ordine con dati numeri di nodi e cuspidi, perchè questo massimo è ottenuto « col postulato delle singelarità » (Lefschetz) che vale soltanto pei sistemi continuiregolari, come ha mostratoB. Segre (« Rend. della R. Acc. Naz. dei Lincei », vol. X6, 1929, 2° sem., pag. 34). Il problema (tuttora insoluto) della dimensione e dell'esistenza di sistemi continui di curve piane con cuspidi (e nodi) è singolarmente delicato, come lo mostra anche una Nota diZariski,On the non-existence of curves of order 8 with 16 cusps (« American Journal of mathematics », vol. 53, 1931, pag. 309).Google Scholar
  5. (6).
    Già nel caso analogo delle curve piane di ordinem, la varietà doppia della totalità delle curve con un nodo è composta di una parte di dimensione\(\left( {\begin{array}{*{20}c} {m + 2} \\ 2 \\ \end{array} } \right) - 3\) di curve con 2 nodi e di una parte di dimensione\(\left( {\begin{array}{*{20}c} {m + 2} \\ 2 \\ \end{array} } \right) - 4\), esterna alla precedente, di curve con una cuspide. Ved. a tal proposito la teoria dei sistemi continui di curve piane nel Cap. I, § 1 del II vol. in corso di preparazione delle mie Lezioni sulleSerie, sistemi d'equivalenza e corrispondenze algebriche sulle varietà algebriche (Roma, Ed. Cremonese, vol. I, 1942).Google Scholar
  6. (7).
    Pei concetti e le proprietà che qui si usano, ivi compreso quel che ho chiamatometodo d' intersezione delle falde lineari, rimando alle mieVorlesungen über algebraische Geometrie (Tenbner, 1921) e precisamente a pag. 309 e seguenti; e per uua più ampia e affinata trattazione, al vol. II delle mie citate Lezioni sulleSerie e sistemi di equivalenza, ecc., La falda è lineare, perchèF 0 assorbe δ superficie con un nodo di un fascio generico che contengaF 0;una per ciascun dei nodi della superficie.Google Scholar
  7. (8).
    Ved. il mioTrattato di Geometria algebrica (Zanichelli, 1929) vol. I, parte I, pag. 39. Ivi la proprietà è riferita alle curve, ma l'estensione alle superficie e alle varietà è ovvia.Google Scholar
  8. (9).
    Ved. la mia Nota,Le varietà diramate e il loro teorema di esistenza, Memorias de Matematica del Instituto Jorge Juan, n. 4, Madrid, 1946.Google Scholar
  9. (10).
    Su alcune questioni di postulazione (« Rend. del Circolo matematico di Palermo », t. XVII, 1903). Ivi trattasi prima delle varietà, eppoi, con maggior diffusione, di curve e superficie. I teoremi per queste son immediatamente riferibili alle varietà. Nel casor=3,h=2 si cade in classici teoremi diNoether (« Mathematische Annalen », Bd. VIII, 1874), pagg. 509 e segg..Google Scholar
  10. (12).
    La teoria di questa serie è completamente sviluppata (benchè in modo incidentale, come premessa geometrica) nella mia Memoria in corso di stampa presso la Pontificia Accademia delle Scienze:La teoria delle funzioni quasi abeliane. Ivi trovansi anche i precedenti bibliografici. Le proprietà che a noi servono, pel caso speciale di curve intersezioni complete di superficie con soli nodi (e non con singolarità isolate superiori), potrebbero altresi dedursi da proprietà di geometria sopra una superficie regolare. Un sunto di una parte della Memoria sulle funzioni quasi abeliane trovasi nella mia NotaLe funzioni periodiche di più variabili (« Commentarii mathematici helvetici », vol. 18, 1945).Google Scholar
  11. (13).
    Su alcune proprietà dei moduli di forme algebriche (« Atti della R. Acc. delle Scienze di Torino », vol. XLI, 1905), pag. 6 e segg.). Non mancherà l'occasione, nelle trattazioni sistematiche che vado preparando, di sviluppare diffusamente le estensioni cui si allude.Google Scholar
  12. (14).
    Una proprietà delle forme algebriche prive di punti multipli (« Rend. della R. Acc. dei Lincei », vol. XV5, 2° sem. 1906), pag. 691. La stessa proprietà fu più tardi ritrovata daLefschetz (« Transactions of the American mathematical Society », 1921, pag. 359; Memoria premiata col Premio Bordin, 1919) con un procedimento topologico-trascendente di notevole interesse.Google Scholar
  13. (17).
    Ved.Severi,Osservazioni varie di geometria sopra una superficie algebrica o sopra una varietà (« Atti del R. Ist. Veneto », t. LXV, 1906, pag. 635);Alcune relazioni di equivalenza tra gruppi di punti d'una curva algelrica o tra curve di una superficie « Atti del R. Istituto Veneto », t. LXX, 1911, pag. 38). Ved. pureLefschetz,L'analysis situs et la géométrie algébrique (Paris, Gauthier-Villars, 1924, pag. 104).Google Scholar
  14. (18).
    Ved. la mia Memoria,La base minima pour la totalité des courbes tracées sur une surface algébrique (« Annales de l'Ecole noimale », t. XXV, 1908, pag. 463, n. 8).Google Scholar
  15. (19).
    Dimostrato per via trascendente daLefschetz,L'analysis situs, etc.; pag. 108.Google Scholar
  16. (20).
    Ricerche di geometria sulle superficie algebriche (« Memorie dell'Accademia delle Scienze di Torino », t. XLIV2, 1893; n. 6).Google Scholar
  17. (21).
    Sull'identità proiettiva di due curve algebriche (« Memorie dell'Accademia Gioenia di Catania », vol. XIX4, 1905; n. 8).Marletta asserisce che la proprietà vale anche per forme diS r aventi un numero finito di punti multipli ordinari, di molteplicitàsr−1; ed è vero, ma occorre perciò prima osservare (come abbiamo fatto nel n.o precedente) che su queste forme quelle di ogni ordine assegnato segano sistemi lineari completi. La dimostrazione della proprietà per le forme diS r (r>3) non è inMarletta esauriente neppure in relazione alle forme senza punti multipli, perchè poggiante implicitamente sull'ipotesi che la eorrispondenza fra le due forme birazionalmente equivalenti sia biunivoca senza eccezioni, il che non può affermarsi perr>3, mentre è vero perr=3, perchè una superficie di ordinem≥4 priva di punti multipli inS 3 non possiede curve eccezionali.Google Scholar
  18. (22).
    Una varietà di dimensioned di puntis-pli ordinari impone alle forme di ordinemr−1, che segano sopra una forma di ordinem delloS r il sistema canonico, il passaggio con molteplicitàsr+d+1. Il modo più rapido per accertarlo è di estendere il procedimento indicato inPicard-Simart,Théorie des fonctions algébriques de deux variables indépendantes (Paris, Gauthier-Villars, t. I, 1897), pag. 189.Google Scholar
  19. (25).
    Osservazioni sopra alcune varietà non razionali aventi tutti i generi nulli (« Atti della R. Acc. delle Scienze di Torino », vol. 50, 1905), pag. 1070.Google Scholar
  20. (26).
    Ved. ad es. il mioTrattato di geometria algebrica, pag. 177 ove son caratterizzate le curve (razionali) con infinite omografie in sè, la cui determinazione risale aKlein eLie (1870).Google Scholar
  21. (29).
    Una superficie diS 3 di ordine >2, con uu numero finito di punti multipli non possiede mai un'infinità (necessariamente continua) di omografie in sè. La determinazione delle superficie con infinite omografie in sè risale com'è noto aKlein (1870),Lie (1882, 1884, 1895),Enriques (1892–93),Fano (1895–96). Ved. le indicazioni bibliografiche inFano,Kontinuierliche geometrische Gruppen (« Encyklopädie der math. Wissenschaften », III AB 46, 1907), pag. 307. Più generalmente è da tempo risoluta anche la questione della determinazione delle superficie algebriche con un'infinità continua di trasformazioni birazionali in sè. Ved. notizie in proposito inCastelnuovo-Enriques,Die algebraische Flächen vom Gesichtspunkte der birationalen Transformationen aus (« Encyklopädie der math. Wissenschaften », III C, 66, 1914), pag. 714. Nell'elencazione mancano però le superficie quasi abeliane, di cui alla mia Memoria citata sulle funzioni quasi abeliane, superficie sulle quali non si era portata l'attenzione, perchè si trascuravano i gruppi continui abeliani non assolutamente transitivi.Google Scholar
  22. (31).
    La curvaC 0 si può particolarizzare, senza acquistare nodi, fino a possedere transformazioni omografiche in sè. Perm=4 la completa classificazione delle quartiche piane di genere 3 con omografie (in numero finito) in sè, trovasi inCiani,Le quartiche piane proiettive a sè stesse (« Rendiconti del Circolo matematico di Palermo », t. XXVIII, 1909). QuandoC 0 possiede omografie in sè si può avere un numero finito di sistemi omologici di superficieF passanti perC 0 e proiettivamente equivalenti.Google Scholar
  23. (33).
    Ved.C. Segre,Sulla varietà cubica con dieci punti doppi dello spazio a quattro dimensioni (« Atti della R. Acc. delle Scienze di Torino », vol. XXII1, 1887);Sulle varietà cubiche dello spazio a quattro dimensioni e su certi sistemi di rette e certe superficie dello spazio ordinario (« Memorie della R. Acc. delle Scienze di Torino », XXXIX2, 1888).Google Scholar
  24. (34).
    Una notevole superficie del 5° ordine con soli punti doppi isolati (Festschrift Rudolf Fueter, Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich, 1940), pag. 127.Google Scholar
  25. (35).
    Ved. le Note di questo Autore negli « Scritti matematici offerti a L. Berzolari », 1936, pagg. 577–93 e negli « Atti del I Congresso dell' Unione Matematica Italiana », Firenze, 1937, pagg. 254–58. La prima considerazione di un tipo particolare di una form : cubica con 15 punti doppi diS 5 è delVeneroni, « Rend. Istituto Lombardo », t. XLVII, 1914.Google Scholar
  26. (37).
    Ved.Togliatti, loc. cit. (volume in onore diFueter), pag. 129.Google Scholar
  27. (38).
    Di cui trovasi la precisazione ed una rigorosa dimostrazione nella mia Memoria:I fondamenti della geometria numeratira (« Annali di Matematica », 1. XIX4, 1940). pag. 169.Google Scholar
  28. (40).
    Ved.Togliatti, vol. in onore diFueter, pag. 130.Google Scholar
  29. (43).
    In virtù di teoremi ben noti della teoria della base, per la quale rinvio per es. alle mieConferenze di geometria algebrica, raccolte daB. Segre (Bologna, Zanichelli, 1927), pag. 359 e segg..Google Scholar
  30. (44).
    Ved. per es.Lefschetz,Géométrie sur les surfaces et les variétés algébriques (« Mémorial des sciences mathématiques », XL. 1929). pagg. 17 e 35. Nel secondo membro della relazione richiamata non figura il termine +4q, perchè laF 0 è regolare (q=0).Google Scholar
  31. (46).
    Ved.Marletta, loc. cit. al n. 8.Google Scholar
  32. (47).
    Ved. la mia Nota,Sul teorema di esistenza di Riemann (« Rend. del Circolo Matematico di Palermo », t. XLVI, 1922), n. 6.Google Scholar
  33. (48).
    Per la superficie diKummer la proprietà fu stabilita altrimenti da questo Autore (1864) e daB. Segre nella Memoria:Sulla caratterizzazione delle curve di diramazione dei piani multipli generali (« Memorie della R. Acc. d'Italia », vol. I, 1930), n. 23.Google Scholar
  34. (49).
    Ved.B. Segre, loc. cit., nn. 21, 22.Google Scholar
  35. (50).
    InB. Segre, loc. cit., si prova che perm=4, δ0=16 il numero di questi sistemi è 63.Google Scholar
  36. (51).
    La permanenza del valore diI deriva anche subito dalla relazione diNoether citata a pag. 32.Google Scholar
  37. (55).
    Fano,Sopra alcune varietà algebriche a tre dimensioni aventi tutti i generi nulli (« Atti della R. Acc. delle Scienze di Torino », t. XLIII, 1908).Google Scholar
  38. (57).
    Ved.Todd,On a quartic primal with forty-five nodes, in space of four dimensions (« The quartely Journal of math. Oxford series », vol. VII, sept. 1936). Lo stessoTodd, ammessa l'ipotesi sopra indicata, affaccia la previsione che la forma in questioneV possegga il massimo numero di nodi. La configurazione dei 45 nodi diV fu incontrata daBurkhardt (« Math-Annalen », 1891) in ricerche sulla trisezione dei periodi delle funzioni iperellittiche.Coble (« American Journal of math. », 1906) stabili poi l'esistenza della quarticaV con quei 45 nodi.Google Scholar
  39. (57).
    Ved. la mia Memoria,Sulle intersezioni delle varietà algebriche e sopra i loro caratteri e singolarità proiettive (« Memorie della R. Acc. delle Scienze di Torino », t. LII2, 1902), pag. 76, ove è indicata la singolare presenza di una varietà di punti doppi che una forma diS r viene necessariamente ad avere sopra una varietàV k per la quale debba passare, non appena sia 2kr; ed è determinato l'ordine della varietà stessa.Google Scholar

Copyright information

© Nicola Zanichelli Editore 1946

Authors and Affiliations

  • Francesco Severi
    • 1
  1. 1.Roma

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