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Acta Mathematica

, 20:59 | Cite as

La méthode de Neumann et le problème de Dirichlet

  • H. Poincaré
Article

Résumé

Nous savons que la méthode dite du balayage permet de démontrer le principe deDirichlet dans le cas général.

Mais si cette méthode est très-bonne comme procédé de démonstration, elle est inférieure comme procédé de calcul à celle deNeumann. Celle-ci malheureusement n'était jusqu'ici applicable qu'aux surfaces convexes.

En m'appuyant sur le principe deDirichlet supposé démontré par la méthode de balayage, j'ai montré que la méthode deNeumann (de même que celle deRobin) conduit à la solution du problème deDirichlet aux conditions suivantes:
  1. 1o.

    Si la surfaceS est simplement connexe.

     
  2. 2o.

    Si cette surface a partout un plan tangent et deux rayons de courbure principaux déterminés.

     
  3. 3o.

    Si la fonction donnée Φ a des dérivées de tous les ordres.

     

Toutes ces restrictions sont probablement inutiles et tout porte à penser que le théorème est vrai dans tous les cas. Mais je ne l'ai démontré qu'avec ces restrictions.

Après avoir établi ces résultats d'une façon rigoureuse, j'ai cru devoir dans les deux derniers chapitres, donner une idée des aperçus qui m'avaient d'abord conduit à les deviner. J'ai pensé que, malgré leur peu de rigueur, ils pouvaient être utiles comme procédés d'investigation, puisque je m'en étais déjà servi une fois avec succès.

References

  1. 1.
    Il peut arriver que l'on sache que la fonctionW 1 est harmonique à l'intérieur et à l'extérieur deS et tend uniformément vers une même limiteV 1=V1 quand on se rapproche deS; mais qu'on ne sache pas si\(\frac{{dV_1 }}{{dn}},\frac{{dV'_1 }}{{dn}}\) ont des valeurs finies et déterminées. On ne peut alors affirmer queW 1 soit effectivement le potentiel d'une simple couche. Le théorème n'en est pas moins applicable.Google Scholar

Copyright information

© F. & G. Beijer 1897

Authors and Affiliations

  • H. Poincaré
    • 1
  1. 1.Paris

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