Advertisement

Annali di Matematica Pura ed Applicata

, Volume 32, Issue 1, pp 121–155 | Cite as

Sopra una forma più ampia del problema di Cauchy per l'equazionep=f(x, y, z, q)

  • Maria Cinquini Cibrario
  • Silvio Cinquini
Article

Sunto.

Gli autori estendono all'equazione(I) p=f(x, y, z, q) l'ordine di idee sviluppato daC. Carathéodory per le equazioni differenziali ordinarie, considerando l'equazione(I) sotto la forma
$$z(x,y) = \varphi (y) + \int\limits_0^x {f(x,y,z(x,y),q(x,y))} dx$$
per la quale vengono stabiliti un teorema di esistenza e due teoremi di unicità, quando si considerino soluzioniz(x, y), continue assieme az y ′(x, y), e tali chez(x, y), per ogniy fissato, è una funzione assolutamente continua della solax. La funzionef(x, y, z, q) è supposta quasi-continua inx e continua in(y, z, q), mentre le ipotesi relative alle sue derivate parziali variano a seconda dei teoremi che figurano nella Memoria. Nella Memoria sono contenuti due lemmi, che possono presentare interesse, anche indipendentemente dalla teoria delle equazioni a derivate parziali.

Literatur

  1. (1).
    L'interesse di queste ricerche è stato rilevato anche neiProblemi, risultati e discussioni, dei « Rend. di Matematica e delle sue appl. », Vol. III, (1942), pp. 70–71 daG. Sansone,Il problema di Cauchy per l'equazione p=f(x, y, z, q)nel caso reale. Vedi anche:G. Sansone,Problemi attuali sulla teoria delle equazioni differenziali ordinarie e su alcuni tipi di equazioni alle derivate parziali, « Atti del Convegno matematico », 8–12 novembre 1942, pp. 179–200, a cui rinviamo per la bibliografia.Google Scholar
  2. (2).
    C. Arzelà, Esistenza degli integrali nelle equazioni a derivate parziali, « Memorie della R. Accademia delle Scienze dell'Istituto di Bologna », T. III, (1906), pp. 117–141;Condizioni di esistenza degli integrali nelle equazioni a derivate parziali, « Rend. R. Accademia Nazionale dei Lincei », Vol. XV, (1906), pp. 417–423 e pag. 670.Google Scholar
  3. (3).
    C. Severini,Sul problema di Cauchy, « Atti dell'Accademia Gioenia di Scienze naturali in Catania », Vol. X, (1916).Google Scholar
  4. (4).
    E. Baiada, Sul teorema d'esistenza per le equazioni alle derivate parziali del primo ordine, « Annali della Scuola normale superiore di Pisa », Vol. XII, (1943), pp. 135–145;Sul problema di Cauchy per le equazioni alle derivate parziali, ibidem, pp. 185–188;Alcune considerazioni sull' esistenza della soluzione delle equazioni alle derivate parziali « Rend. Accademia Nazionale dei Lincei », Vol. I, (1946), pp. 296–301.MathSciNetGoogle Scholar
  5. (5).
    M. Volpato,Sulle condizioni sufficienti per l'unicità degli integrali di una equazione differenziale alle derivate parziali del primo ordine, « Annali della Università di Ferrara », Vol. VIII, (1950);Criteri di confronto e di unicità per le soluzioni dell'equazione p=f(x, y, z, q)coi dati di Cauchy, « Rend. del Seminario matematico della Università di Padova », A. XX, (1951), pp. 232–243.Google Scholar
  6. (6).
    Ne conosciamo soltanto il titolo:The uniqueness for the equation p=f(x, y, z, q)with the Cauchy data, « Boll. Unione matematica italiana », A. V, (1950), p 387.Google Scholar
  7. (7).
    C. Carathéodory,Vorlesungen über reelle Funktionen, Teubner, Leipzig, 1918, Cap. XI, pp. 665–688.Google Scholar
  8. (8).
    Vedi per esempio:E. Digel, Über die Bedingungen der Existenz der Integrale partieller Differentialgleichungen erster Ordnung, « Mathematische Zeitschrift », Band 44, (1939), pp. 445–451.CrossRefMathSciNetGoogle Scholar
  9. (9).
    È da rilevare che da questo risultato segue, come caso particolare, una lieve riduzione delle ipotesi nel teorema di esistenza relativo all'equazione (I), (vedi n. 4).Google Scholar
  10. (10).
    A. Haar, Sur l'unicité des solutions des équations aux derivées partielles, « C. R. de l'Académie des Sciences de Paris », T. 187, (1928), pp. 23–25;Über Eindeutigkeit und Analyzität der Losüngen partieller Differentialgleichungen, « Atti del Congresso internazionale dei matematici di Bologna del 1928 », T. III, pp. 5–10. Vedi anche:M. Nagumo,Über die Ungleichungen 123-1. « Japanese Journal of Mathematics », Vol. XV, (1938), pp. 51–56.zbMATHGoogle Scholar
  11. (12).
    VediC. Carathéodory, luogo cit. in (7), n. 582, pag. 672.Google Scholar
  12. (13).
    Questo risultato è contenuto nella seguente proposizione, che è caso particolare di un teorema generale diL. Giuliano, [Generalizzazione di un lemma di Gronwall e di una disuguaglianza di Peano, « Rend. Accademia nazionale dei Lincei », Vol. I, (1946), pp. 1264–1271; vedi nn. 3 e 4]:Se z(x)è una funzione assolutamente continua in (a, b),se γ(x), δ(x)sono due funzioni quasi-continue, integrabili, non negative in (a, b)e tali che, per quasi tutti gli xdi (a, b),sia \((a)|z'(x)| \leqslant \gamma (x)|z(x)| + \delta (x),\) allora risulta per tutti gli xdi (a, b)\((b)|z(x)| \leqslant e^{\int_a^x {\gamma (rv)} drv} \left[ {|z(a)| + \int\limits_a^\infty {\delta (\tau )e^{ - \int_a^\tau {\gamma (rv)drv} } } d\tau } \right].\) Infatti, dalla (a), tenuto presente che per quasi tutti glix di (a, b), è |z′(x) |=|D |z(x) ||, moltiplicando ambo i membri per\(e^{ - \int_a^x {\gamma (rv)drv} } \), risulta\(D[|z(x)|e^{ - \int_a^x {\gamma (rv)drv} } ] \leqslant \delta (x)e^{ - \int_a^x {\gamma (rv)drv} } ,\) e quindi, integrando rispetto ax sull'intervallo (a, x)\(|z(x)| \leqslant e^{\int_a^x {\gamma (rv)} drv} - |z(a)| \leqslant \int\limits_a^\infty {\delta (x)e^{ - \int_a^\tau {\gamma (rv)drv} } } dx,\) da cui segue in modo ovvio la (b).Google Scholar
  13. (14).
    VediC. Carathèodory, opera cit. in (7), n. 582, pag. 672.Google Scholar
  14. (15).
    Questo calcolo coincide formalmente con quello sviluppato nel caso classico daE. Digel: vedi luogo cit. in (8), n. 4, pag. 449.Google Scholar
  15. (16).
    VediE. Digel, luogo cit. in (8);E. Baiada, luogo cit. per primo in (4).Google Scholar
  16. (18).
    VediC. Carathéodory, opera cit. in (7), n. 582, pag. 672 e n. 583 pag. 674.Google Scholar
  17. (19).
    T. Radó,On absolutely continuous transformations in the plane, « Duke Mathematical Journal », Vol. 4, (1938), pp. 189–221. Vedi n. 10-7, pag. 219. Vedi ancheR. Caccioppoli, G. Scorza Dragoni,Necessità della condizione di Weierstrass per la semicontinuità di un integrale doppio sopra una data superficie, « Memorie della R. Accademia d'Italia », Vol. IX, (1938), pp. 251–268, § 3.CrossRefzbMATHMathSciNetGoogle Scholar
  18. (20).
    C. Carathéodory, luogo cit. in (7), n. 583, p. 674. Basta tener presente l'ultima delle (10) e le disuguaglianze rilevate in (14′).Google Scholar

Copyright information

© Swets & Zeitlinger B. V. 1951

Authors and Affiliations

  • Maria Cinquini Cibrario
    • 1
  • Silvio Cinquini
    • 1
  1. 1.Pavia

Personalised recommendations