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Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche

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Sunto.

I risultati principali e nuovi della presente Memoria, che fa seguito ad altra dal medesimo tîtolo, pubblicata dall'A. nel 1909, sono: 1) Diversi tipi di costruzione del sistema canonico impuro di una Vd (non singolare, irriducibile), ciascun dei quali involge l'invarianza relativa di tale sistema, rispetto alle trasformazioni birazionali. 2) La definitiva acquisizione del sistema canonico puro e la dimostrazione della sua invarianza assoluta. 3) Le formule esprimenti i caratteri virtuali della somma di due sistemi lineari, in funzione dei caratteri virtuali di questi e la conseguente deduzione dei caratteri virtuali di una qualunque varietà virtuale. 4) La dimostrazione (e questo era lo scopo fondamentale!) dell'invarianza relativa dei generi aritmetici pd, P d a di Vd e delle relazioni fra essi e i caratteri virtuali del sistema canonico. Quest'invarianza è conseguita indipendentemente dall'uguaglianza pd=P d a , per la quale si assegnano le linee d'un processo dimostrativo, conseguendosi così un progresso nella subordinazione della predetta uguaglianza a questo o a quel postulato (Severi, Todd).

Literatur

  1. (1)

    Zur Theorie des eindeutigen Entsprechens algebraischer Gebilde von beliebig vielen Dimensionen, « Math. Annalen , Bd. 2, 1870, (I parte); « Math. Annalen », Bd. 8, 1875, (II parte).

  2. (3)

    Ecco le più notevoli:a) anteriori alla Memoria del 1909:Pannelli,Sopra alcuni caratteri di una varietà algebrica a tre dimensioni, « Rend. della R. Acc. dei Lincei », 1o sem., 1906;Sopra gl'invarianti birazionali, ibidem, 1o sem., 1906;b) posteriori alla Memoria del 1909:B. Segre,Nuovi contributi alla geometria sulle varietà algebriche, « Memorie della R. Acc. d'Italia », 1934;Quelques résultats nouveaux dans la géométrie sur une V 3 algébrique. « Mémoire couronné par l'Acad. royale de Belgique, Mémoires de l'Acad. », 1936. Vi sono inoltre, in collegamento con la Memoria del 1909 dell'Autore, altri lavori diAlbanese, che verranno citati in seguito.

  3. (4)

    Notizie bibliografiche dettagliate sopra questi ultimi due indirizzi non occorrono qui (quelle che hanno qualche rapporto con la presente Memoria saranno indicate in seguito). Rinvio in proposito alle monografie seguenti:Conforto,Lo stato attuale della teoria dei sistemi d'equivalenza e delle corrispondenze algebriche tra varietà, « Atti del Convegno matematico del 1942 presso l'Istituto Nazionale di Alta Matematica »;Conforto eZappa,La geometria algebrica in Italia, (dal 1939 al 1945 incluso), « Relationes della Pontificia Accademia delle Scienze », 1946;B. Segre,Geometria algebrica nei paesi anglosassoni (dal 1939 al 1945), ibidem, 1946.

  4. (6)

    Ved.Severi,Trattato di geometria algebrica, 1926, p. 341, ed il commento a pie della pag. 219 del I vol. delleMemorie scelte diF. Severi, Bologna, Zuffi, 1950.

  5. (7)

    Severi, « Rend. Circolo mat. di Palermo », 1903 (per ciò che concerne le curve senza singolarità);Bertini eSeveri, « Atti della R. Acc. delle Scienze di Torino », 1908 (per ciò che concerne le curve con punti singolari).

  6. (11)

    Zur Theorie, etc. (I parte), p. 315.

  7. (12)

    Zur Theorie, etc. § 9, p. 514, § 13, p. 529. Anche questo secondo ragionamento diNoether avrebbe bisogno di esser criticamente ricostruito

  8. (13)

    « Atti della R. Accademia delle Scienze di Torino , 1901;Le superficie algebriche, Zanichelli, 1949; p. 42. A tale estensione alle varietà si accenna nell'articolo diCastelnuovo-Enriques,Die algebraischen Flächen, nella « Enc. der math. Wissenschaften », 1915, p. 763.

  9. (14)

    « Atti Istituto Veneto », 1906. Ved. pureSeveri,Serie, sistemi d'equivalenza e corrispondenze algebriche sulle varietà algebriche, Roma, Cremonese, vol. I, p. 198.

  10. (15)

    Questi intorni non sono che falde quasi lineari diV d ' [ved. la nota (40) a pie' della pag. 35]. Sono effettivamente falde lineari quando non hanno per origine un punto di tipo cuspidale; altrimenti sono falde superlineari (di ordine >1).

  11. (16)

    Ved.Bertini,Introduzione alla geometria proiettiva degl'iperspazi, Messina. Principato, II ed., 1923, p. 278. Ricordiamo che il sistema è composto con un'involuzione di speciet>0 quando le sue ipersuperficie passanti per un punto genericoP diV d ' (o diV d ) passano in conseguenza per una varietàM t , contenenteP e variabile conP. InBertini la proprietà è dimostrata per un sistema lineare di forme di uno spazio lineare, ma, avendo essa carattere differenziale, è valida per sistemi lineari di ipersuperficie sopraV d ' (oV d ). La dimostrazione è ovvia.

  12. (17)

    Pel semplice calcolo sviluppato sotto non sono direttamente utilizzabili le proprietà conosciute dell'ipersuperficie jacobiana d'un sistema di forme (Villa, « Istituto Lombardo », 1931;Dantoni, « Annali Scuola normale superiore di Pisa », 1950). Perciò trattiamo il pro. blema che c'interessa in modo autonomo. Lo studio del comportamento della jacobiana dir+1 forme diS r in un punto si può del resto condurre rapidamente tenuto conto che la jacobiana è proiettivamente invariante e ponendo in quel punto l'origine, con la più favore. vole scelta degli assi, in relazione alla natura delle singolarità, che in quel punto presentano le date forme.

  13. (22)

    Ved.Serie, sistemi d'equivalenza, ..., (citato a p. 8) p. 200. Basta anzi riferirsi al teorema perd=1, sostituendo aT il gruppo jacobiano della serie lineare |A 1 |, che in tal caso è la sola da considerarsi. Dalla dimostrazione stessa risulta per induzione cheT è un'ipersuperficie pura e che essa è sempre ben determinata, se id fasci non son composti con una medesima involuzione di specie >0 (possibilità, che, come subito, si vede, può verificarsi).

  14. (23)

    Se id fasci dati mutano entro i sistemi lineari ∞d, in cui son suscettibili di variareT varia dunque in un sistema lineare, che è ovviamente semplice e privo di punti base: epperò (teorema diBertini esteo, ved. nota (24) a pag. 23) la genericaT è irriducibile e priva di punti multipli.

  15. (24)

    Che trovasi anche, perd=3, ma dedotta supponendo già acquisito il sistema canonico impuro, nella Memoria di B.Segre del 1934, p. 554. Perd qualunque la relazione trovasi inTodd,The geometrical invariants of algebraic loci (second paper), « Proceedings of the London mathematical Society », vol. 45, 1939, p. 411; ma anche qui si suppone già acquisitoK mediante (5), donde segue la relazione di aggiunzione (6bis), che costituisce per noi la seconda parte del teorema, della quale inveceTodd profitta per dedurre la (7).

  16. (25)

    The geometrical invariants of algebraic loci, « Proceedings of the London mathema tical Society », vol. 43, 1957; stesso titolo (second paper), ibidem, vol. 452, 1939.

  17. (26)

    Pei lavori diÉger, i quali sono in massima parte Note preventive dei « Comptes rendus », rinvio alle monografie citate a pag. 2.

  18. (27)

    Invariant and covariant systems on an algebraic variety, « Proceedings of the London mathematical Society », vol. 46, 1940.

  19. (28)

    De Franchis,Intorno al significato di alcuni caratteri delle varietà algebriche, « Rendiconti di Palermo », t. 56, 1932; ibidem, t. 60, 1936.

  20. (31)

    Il teorema cui s'allude afferma che un sistema lineare d'ipersuperficie suV d può esser riducibile soltanto se ha una componente fissa (caso banale) o se la sua parte variabile è composta con le ipersuperficie di un fascio (Ved.Bertini, loc. cit. pag. 276). Questo teorema, dato daBertini per un sistema lineare di forme d'uno spazio lineare, si estende subito ai sistemi lineari suV d , sul fondamento di un altro teorema diBertini trasportato alle varietà e cioè che un'ipersuperficie variabile in un sistema lineare suV d non ha punti multipli fuori delle eventuali varietà base del sistema (Ved.Severi,Su alcune proprietà dei moduli di forme algebriche, « Atti delle R. Accademia delle Scienze di Torino », 1905, n. 1). Basta all'uopo, sulla base di questo teorema, ripetere, mutatis mutandis, il ragionamento esposto nei nn. 13, 14 del citato trattato diBertini; si avvertirà che, nel caso di un sistema lineare composto |C | sopra unaV d irrazionale, il fascio d'ipersuperficie con cui è composto |C | può esser anche irrazionale.

  21. (38)

    Ved.Severi,Trattato di geometria algebrica (citato), p. 211. Il risultato è in un certo senso analogo a quello trovato daB. Segre e accennato nella nota precedente.

  22. (39)

    Dobbiamo dire non minore, e non uguale, perché, auche se |A | è privo di punti base (come abbiamo per semplicità supposto), può darsi che\(|\bar K|\), quale trasformato di |K |, abbia punti base generati daT in corrispondenza a varietà fondamentali, le quali abbiano dato luogo a punti base di\(|\bar A|\) o di |A j | o di ambedue i sistemi. In tal caso, siccome nella definizione del sistema canonico impuro\(|\bar K + \bar E|\) il sistema\(|\bar K|\) va considerato virtualmente privo di punti base, può darsi che la sua dimensione, come sistema completo, aumenti rispetto alla dimensione di |K |.

  23. (40)

    Se poi la varietà è dotata soltanto di faldequasi lineari ossia di ordine invariantivo (relativo) uno, cioè di falde equivalenti ciascuna ad una falda lineare per trasformazioni biunivoche pseudoconformi ved. a tal proposito,Severi,Sulle molteplicità d'intersezione delle varietà algebriche ed analitiche, ecc., « Mathematische Zeitschrift », Bd. 52, 1950, pag. 827) la teoria del sistema canonico impuro o puro si svolge esattamente come sopra unaV d non singolare, perché le proprietà infinitesimali, anzi analitiche, di una falda quasi lineare, son identiche a quelle dell'intorno d'un punto semplice.

  24. (42)

    Birational transformations with isolated fundamental points, « Proceedings of the Edinburgh mathematical society », vol. 52, 1937;Birational transformations possessing fundamental curves, « Proceedings of the Cambridge philosophical society », vol. 34, 1938.

  25. (43)

    Il sistema anticanonico è stato considerato per la prima volta dall'Autore nella Memoria.Un nuovo campo di ricerche nella geometria sopra una superficie e sopra una varietà algebrica, « Memorie della R. Accademia d'Italia », 1932, n. 27, per stabilire una proprietà aritmetica delle varietà cheB. Segre ha chiamato diSeveri-Bauer.

  26. (44)

    Converrà anche nella ricerca tener conto che le curve eccezionali di 2a specie si comportano in modo difforme dalle curve eccezionali di 1a specie e che le sole superficie razionali prive di punti multipli sulle quali non esistono curve eccezionali di 1a specie son le superficie di ordine invariantivo relativo 1, 2. Ved.G. Vaccaro,Le superficie razionali prive di curve eccezionali di prima specie, « Rendiconti dell'Accademia nazionale dei Lincei », vol. IV, 1948, p. 549.

  27. (45)

    In qual senso debba intendersi questa formula di postulazione verrà precisato nel n. 12.

  28. (46)

    L'attributo « aritmetico » o « numerico » non è proprio, ma è il più usato. Si dovrebbe dire piuttostogenere numeraiivo. Trattasi in realtà d'un carattere numerativo (ved. n. 11).

  29. (47)

    Sul genere aritmetico delle varietà algebriche a quattro dimensîoni, « Rend. della R. Accademia Nazionale dei Lincei », 1o sem., 1924;Invarianza del genere P a di una varietà algebrica a quattro dimensioni, ibidem, 1o sem., 1924. In un ulteriore lavoro. quasi sconosciuto, dello stesso anno,Albanese, « Anuali delle Università toscane » (Nuova Serie), vol. IX, fasc. 2°, 1924, tentò pure, senza successo, una dimostrazione dell'invarianza assoluta delp d (e dell'uguaglianzaP d a =p d ) perd qualunque.

  30. (48)

    Fondamenti I. n. 30.

  31. (49)

    Some formulae for primals in four dimensions, « Proc. of the London math. Society », 1933.

  32. (50)

    The arithmetic genus of a V 3 in S 4, « Journal of the London math. Society », 1934.

  33. (51)

    Adjoint primals in four dimensions, « Proc. of the London math. Society », 1936.

  34. (52)

    Projective characters and invariants of algebraic varieties, « Proc. of the Cambridge Phil. Society », 1937.

  35. (53)

    The arithmetical invariants of algebraic loci, « Proc. of the London math. Society », 1937.

  36. (54)

    Memorie Scelte, vol. I, p. 41.

  37. (55)

    Fondamenti I, n. 7.

  38. (56)

    Fondamenti I, n. 30.

  39. (57)

    Serie, sistemi d'equivalenza, ecc. (citato a pag. 8), p. 260.

  40. (58)

    É noto (Muhly, « Annals of mathematics », vol. 24, 1941) che le varietà aritmeticamente normali son geometricamente caratterizzate dal fatto che le forme di un ordine dato qualunque segano su esse sistemi linearicompleti.

  41. (59)

    Hilbert's characteristic function and the arithmetic genus of an algebraic variety. « Transactions of the American mathematical Society », july 1950.

  42. (60)

    Geometria proiettica degli iperspazi, Messina, Principato, 2a ed., 1923, p. 302, nn. 12, 13, 14, 16. Il procedimento con cui la formula si consegue nell'opera citata, fu suggerito, perd qualunque, dall' Autore della presente Memoria. Perd=1 era stato in precedenza seguito daCastelnuovo.

  43. (61)

    Bertini, loc. cit., pag. 287.

  44. (62)

    Le diverse concezioni di varietà nella geometria algebrica, « Memorie dell'Accademia del XL », 1951. Questa Memoria fu preceduta da due Note preventive nei « Comptes rendus de l'Académie des sciences de Paris;Les images géométriques des ideaux de polynomes (séance du 25 juin 1951);Propriétés des images géométriques des ideaux de polynomes (séance du 2 juillet 1951).

  45. (63)

    Quando la dimensione diT é uguale alla minore delle dimensioni diV, W, diminuita d'uu'unità, questo teorema trovasi, acquisito coi metodi della geometria algebrica italiana, inFondamenti I, n. 3.

  46. (64)

    Essa consegue ovviamente dalla relazione fra le dimensioni di due sistemi lineari di forme d'ordinel e le dimensioni dei loro sistemi intersezioni e congiungente.

  47. (65)

    Veggasi anche in proposito,Fondamenti I, n. 2, Oss. 3a.

  48. (66)

    Fondamenti I, n. 7. Ved. pure i lavori diTodd, citati a pag. 46.

  49. (67)

    La proprietà potrebbe dimostrarsi in modo completo tenuto conto della rappresentazione monoidale graduale delle varietà, data dall'Autore nell'opera più volte citata sulleSerie e sistemi d'equivalenza, ecc., pag. 62.

  50. (68)

    Severi,Trattato di geometria algebrica, Bologna, Zanichelli, 1926, vol. I.

  51. (70)

    Fondamenti I, n. 5. La sua dimostrazione può qui presentarsi come un'ovvia conseguenza della relazione (25) del n. 12. Invero, la (25) dà: φ[l; (A+B)]+φ[l; (A,B)]=φ(l;A)+φ(l,B) e, ricordando la (24) del n. 11, si ottiene subito la (27), col porre nella precedente relazionel=0, tenuto conto che la relazione fra i polinomi φ è una identità inl, poichè è valida per infiniti valori dil (l abbastanza grande, quando le φ s'interpretano come postulazioni).

  52. (74)

    Il che poi significa che, seA possiede qualche componente multipla, p. es. una di molteplicitàa, questa componente fa parte dell'intersezione diV d , Ģ con la stessa molteplicità.

  53. (75)

    Ved.Severi,Serie, sistemi di equivalenza, (citato a pag. 8).

  54. (76)

    Di questo tipo di ragionamento (con l'uso del cono Ģ) ho profittato più volte ed in particolare nella mia Memoria del 1933:Ueber die Grundlegung der algebraischen Geometrie, Memorie scelte, vol. I, Bologna, Zuffi, 1950, p. 201.

  55. (83)

    Ved.Severi,Rappresentazione d'una forma qualunque per combinazione lineare di più altre, « Rendiconti dei Lincei », 1902;Su alcune questioni di postulazione, « Rendiconti del Cireolo mat. di Palermo », 1903.

  56. (84)

    Questo lemma trovasi già inFondamenti I, n. 2, Oss. II.

  57. (87)

    Questo lemma trovasi già inFondamenti I, n. 31. Ne riproduciamo qui la dimostrazione, un po' semplificata. Perd=1 esso riducesi al lemma dato daCastelnuovo alla fine della MemoriaAlcune proprietà fondamentali dei sistemi lineari di curve tracciati sopra una superficie algebrica, « Annali di Matematica », 1897; n. 43: Se sopra una curvaV i una serie lineare |B |, almeno ∞i, è contenuta parzialmente in una serie completa non speciale |A | e la serie residua |AB | è non speciale, la somma minima |A+B | è completa, non speciale. Per la validità del lemmaoccorre che |B | sia priva di punti fissi.

  58. (88)

    Lo stesso risultato potrebbe ottenersi direttamente con facili calcoli, ma laboriosi, mediante le formule del n. 18, Oss. 2a.

  59. (89)

    Severi,Sulle intersezioni delle varietà algebriche, « Memorie della R. Acc. delle Scienze di Torino », 1902;Memorie scelte, vol. I. Se fosser ≤ 2d generalmente le forme condotte perV d avrebbero, in conseguenza del passaggio, taluni punti doppi suV d .

  60. (90)

    Severi,Su alcune questioni di postulazione, (citata a pag. 72). Il teorema è ivi dato perd=1, 2, ma il ragionamento è generale.

  61. (92)

    Fondamenti I, n. 30.

  62. (93)

    Perd=2 si ha fra gli Θ la ben nota relazione di Noether-Castelnuovo-Enriques. Θ0i−1; perd=3 si ha fra gli Θ, oltre alla (68), la relazione 2Θi−2=3Θ0, dovuta aPannelli (loc. cit. a pag. 1; prima delle due note citate).

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Severi, F. Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche. Annali di Matematica 32, 1–81 (1951) doi:10.1007/BF02417954

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