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Annali di Matematica Pura ed Applicata

, Volume 24, Issue 1, pp 257–282 | Cite as

Geometria degli spazi a connessione affine

  • E. Bompiani
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Analisi critica e ricostruzione per via puramente geometrica delle nozioni di spazio affine osculatore, di spazio affine integrale, di coordinate normali in una varietà a connessione affine. Determinazione di una connessione (a curvatura e torsione nulla) determinata da un punto della varietà e dalla connessione assegnata; conseguente costruzione geometrica deitensori normali e delleestensioni olonome diVeblen eThomas e di quelle anolonome diBortolotti.

References

  1. (*).
    La Memoria che segue era già redatta, esattamente nella forma in eui essa viene ora pubblicata, nel 1o semestre 1940. Essa era già conosciuta daEnea Bortolotti il quale ne ha fatto cenno nel corso litografato «Spazi a connessione proiettiva » (Corsi dell'Istituto Nazionale di Alta Matematica, Roma 1941) a pag. 282, 286, 298, 299. In quest' opera (che è la più recente e la più comprensiva pubblicata finora in Italia) ilBortolotti ha già in parte utilizzate (v. p. 298) le nozioni geometriche che seguono.Google Scholar
  2. (1).
    Si veda p. es.O. Veblen eJ. H. C. Whitehead:The foundations of differential Geometry (Cambridge, « Univ. Press. », 1932), p. 17;J. A. Schouten undD. van Dantzig,Was ist Geometrie? (« Abh. Sem. für Vektor und Tensoranalysis u. s. w. », Mosca, IV, 1935, pagg. 15–48).Google Scholar
  3. (2).
    Enea Bortolotti:Coordinate normali ed « estensioni » nella geometria degli spazi a connessione lineare, (« Rend. R. Accad. d'Italia », serie VII, vol. II, 1941, pagg. 106–116; comunicazione letta al II Congresso dell'Unione Matematica Italiana il 5 Aprile 1940). La vasta bibliografia contenuta in questa Nota mi esime dal riportare citazioni relative ai molti lavori sull'argomento. [Aggiunta nella revisione delle bozze:Enea Bortolotti è mancato il 22 Giugno 1942. Un elenco completo dei suoi lavori trovasi in « Rendiconti di Matematica e delle sue applicazioni », s. V, vol. 3, 1942, pp. 231–240].Google Scholar
  4. (3).
    Le nozioni riportate in questo numero sono ormai classiche (si vedano p, es.L. P. Eisenhart:Non Riemannian Geometry, New York, 1927;T. Y. Thomas,The differential invariants of generalized spaces, Cambridge « Univ. Press », 1934;J. A. Schouten u.D. J. Struik,Einführung in die neueren Methoden der Differentialgeometrie, Bd. I (1935), Bd. II (1938), ed. P. Nordhoff, Groningen-Batavia;Enea Bortolotti:Lezioni di Geometria Superiore (litogr.), Firenze, 1935. Dovendo analizzare quelle nozioni in dettaglio è stato necessario ripresentarle.Google Scholar
  5. (4).
    Preferisco questa designazione a quella di « coordinate geodetiche » introdotte daH. Weyl nel 1921 (si veda p. es.:Raum, Zeit, Materie, J. Springer, Berlin, IV ed., 1921, § 14) perchè queste coordinate dipendono proprio dalla connessione (cioè datutte le Γhki) e non dalle sue geodetiche soltanto. Com'è noto, e verrà ricordato quì appresso, si può alterare la connessione senza alternarne le geodetiche: e le coordinate « geodetiche » per una connessione non lo sono per un'altra pur con le stesse geodetiche. Per le connessioni asimmetriche si possono pure introdurre queste coordinate ricorrendo alle connessioni simmetriche associate, come ha fattoEnea Bortolotti:Sulla geometria delle varietà a connessione affine. Teoria invariantiva delle trasformazioni che conservano il parallelismo, « Annali di Matematica », (IV), 8, 1930, pp. 53–101, n. 5.Google Scholar
  6. (10.
    IlCartan ha introdotto in modo esplicito la nozione (che era già più o meno latente nell'impostazione originale del parallelismo diLevi-Civita) di spazio euclideo osculatore in un punto ad una varietà riemanniana. Si vedano:La Géometrie des espaces de Riemann, « Mém. des Sciences Math. », fasc. IX, Paris, Gauthier-Villars, 1925, Chap. II:Leçons sur la géometrie des espaces de Riemann, « Cahiers scientifiques », fasc. II, Paris, Gauthier-Villars, 1928, Chap. IV, II, pag. 94. Credo necessario rilevare le differenze essenziali che corrono fra il caso riemanniano e quello degli spazi astratti in cui è data solo la legge di trasporto. Nel primo caso l'elemento di partenza, che definisce la geometria stessa, è ilds 2, sicchè è possibile misurare la lunghezza di una linea qualsiasi; e appena rilevata l'esistenza delle geodetiche (definite o come estremali della lunghezza o come autoparallele) è possibile riportarei punti di quelle uscenti da unP 0 sui punti delle rette uscenti daP 0 nello spazio euclideo ivi tangente servendosi del parametro naturale (arco) preesistente su di esse. Invece nel caso delle connessioni affini questo parametro non esistea priori; bisogna anzitutto creare lo spazio osculatore (e non come spazio di raccordo fra spazi affini tangenti dati in ciascun punto che nella impostazione attualenon esistono) e in un secondo tempo ricavare da essogeometricamente l'esistenza delle autoparallele e di un parametro affine per le autoparallele (e questo è fatto qui in seguito).Google Scholar
  7. (12).
    La determinazione qui fatta di un modello diV n conS(2) ≡S n inP 0 e del suo iperpiano improprio (perfettamentedeterminato dalla connessione) è cosa naturalmente diversa dalla sceltaarbitraria dell'iperpiano improprio che si fa nel lavoro diEnea Bortolotti:Sulle connessioni proiettive (« Rend. Circ. Matem. di Palermo », 56, 1932, pagg. 1–57; si vedano in particolare i paragr. 10 e 12). In esso data una varietà a connessione proiettiva si mostra che l'assegnazione di un campo d'iperpiani negli spazi tangenti determina una connessione affine.Google Scholar
  8. (13).
    H. Weyl:On the foundations of general infinitesimal geometry, « Bull. Am. Mathem. Soc. »,35, 1929, pag. 716.zbMATHCrossRefMathSciNetGoogle Scholar
  9. (14).
    E. Cartan,Sur les variétés à connexion affine et la théorie de la relativité généralisée. « Ann. Ec. Norm. Sup. », (3),40, pagg. 325–412; n. 28, pag. 362.Google Scholar
  10. (15).
    Loc. cit. nella nota precedente, pag. 362 in nota.Google Scholar
  11. (16).
    Si veda ancheEnea Bortolotti:Sulle connessioni proiettive, « Rend. Circ. Matem. di Palermo »,56, 1932, pagg. 1–57, § 1, n. 1.zbMATHMathSciNetCrossRefGoogle Scholar

Copyright information

© Swets & Zeitlinger B. V. 1945

Authors and Affiliations

  • E. Bompiani
    • 1
  1. 1.Roma

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