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Annali di Matematica Pura ed Applicata

, Volume 24, Issue 1, pp 195–208 | Cite as

Sopra un'equazione funzionale

  • Guido Ascoli
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Sunto

Dopo aver notato che la funzionef(x, y)=ϕ(x+iy)−log y, dove la ϕ è la derivata logaritmica della Γ euleriana, soddisfa alla equazione funzionale
$$\frac{1}{n}\left\{ {f\left( {\frac{x}{n},y} \right) + f\left( {\frac{{x + 1}}{n},y} \right) + \ldots + f\left( {\frac{{x + n - 1}}{n},y} \right)} \right\} = f\left( {x,ny} \right)$$
(A))
e che alla stessa equazione soddisfano le funzioni elementari β s (x, y)=Bs(x)/ys, dove iBs sono i polinomi diBernoulli, si dimostra che ogni soluzione della (A), sotto condizioni ben precisate, è rappresentabile con errore piccolo a piacere mediante combinazioni lineari delleβs. Incidentalmente si ottiene una proprietà caratteristica dello sviluppo trigonometrico di una soluzione della (A). Applicazione al calcolo numerico della ϕ nel campo complesso.

References

  1. (1).
    Per la definizione dei polinomi diBernoulli seguiamoN. E. Nörlund, nelle cui ben noteVorlesungen über Differenzenrechnung (Berlin, 1924), la teoria di questi polinomi e la loro applicazione alla formula diEulero-Maclaurin si trovano estesamente trattate (pag. 29–36). Un largo sunto si troverà nelleTables of the higher Mathematical Functions diH. T. Davis (Bloomington, 1935), vol. II, pp. 181–238, insieme a tavole numeriche cui si accennerà più avanti.Google Scholar
  2. (2).
    Alludiamo ad un importante teorema diFr. Riesz, relativo al caso delle funzioni continue, esteso daH. Hahn a tutti gli spazi vettoriali. Si veda per questoBanach (S),Opérations linéaires, Warczuva (1932), p. 58, teor. 6, ed anche una mia Memoria in « Annali di Matematica », X (1931) e XI (1931–32).Google Scholar
  3. (3).
    Cfr. per es.,Lebesgue (H),Leçons sur les séries trigonométriques (Paris, 1906), pp. 91–92. Si tengano presenti le piccole varianti derivanti dalla sostituzione della forma esponenziale dello sviluppo alla più usuale forma trigonometrica.Google Scholar
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    Rasch (G),Notes on the Gamma-Function, « Annals of Math. », 32, 1931, pp. 591–599. Debbo la segnalazione di questo lavoro, del quale non mi è stato possibile prender visione, alla cortesia del dott.A. Ghizzetti, al quale avevo comunicato la (9). Un caso particolare della (9) (β=1) è però già dato daN. Nielsen,Theorie des Integrallogarithmus und verwandter Transzeudenten, (Leipzig, 1906), p. 80, formula (9).Google Scholar
  5. (5).
    Per la prima, v. la citata opera diN. Nielsen; per la seconda, usata specialmente dagli autori inglesi, il notissimoJahnke-Emde,Funktionentafeln, 2a ed., pp. 78–86, IlNielsen dà a pp. 19 e 23, trasformazioni di integrali corrispondenti a quelle del testo; le deduzioni non ci sembrano però pienamente soddisfacenti per ciò che riguarda i cammini di integrazione.Google Scholar
  6. (7).
    Il simboloĒi è usato daJahnke-Emde; in corrispondenzaNielsen usa la notazioneli 1. Con minor precisione, usano anche in questo caso il simboloEi le tavole dellaBritish Association for the Advancement of Science, vol. I, (1931).Google Scholar
  7. (8).
    Cfr.Nielsen, loc. cit., p. 37, formula (9).Google Scholar
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    Tavole con 4 decimali, abbastanza estese, si trovano inJahnke-Emde, p. 83; approssimazione molto maggiore (sino a 11 decimali) danno le tavole della citata Brit. Assoc., pp. 31–33, di passo non molto piccolo, ma con largo apparato per l'interpolazione.Google Scholar
  9. (10).
    Effettivamente, la formula da me costruita differisce da quella del testo per un termine complementare che la allontana dal tipo qui studiato; in compenso ha validità più larga (y≥5/π) e maggiore approssimazione, Essa è stata adottata dall'Istituto per le Applicazioni del Calcolo. Si avverta che l'uso di formule di questo tipo è reso oggi comodissimo dal fatto di poter disporre di tavole assai ampie e precise dei polinomi diBernoulli, quali quelle delDavis (loc. cit., pp. 224–227) che danno i valori diB s(x)−B s(0) con 10 decimali pers=2, 3, …, 8, perx crescente da 0 a 1, con il passo di 0,01. Il metodo diviene però tanto meno conveniente quanto più ci si avvicina all'asse reale.Google Scholar

Copyright information

© Swets & Zeitlinger B. V. 1945

Authors and Affiliations

  • Guido Ascoli
    • 1
  1. 1.Milano

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