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Sulla curva piana razionale del quarto ordine

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Si studiano i combinanti dei sistemi di forme binarie che dànno la rappresentazione parametrica di una curva piana razionale del quarto ordine.

References

  1. (1)

    Più generalmente, per le curve razionali di uno spazio di quante si vogliano dimensioni, vedasi il mio recente lavoro:Sui combinanti dei sistemi di forme binarie annessi alle curve razionali, « Mem. dell'Accad. d'Italia », 14 (1943), pp. 545–601. Per ciò che si riferisce alle funzioni generatrici, all'involuzione fondamentale e alle involuzioni di cui al § 7, v. pure il mio lavoro:Sulle curve razionali di uno spazio lineare ad un numero qualunque di dimensioni, « Ann. di Matem. », (2) 21 (1893), pp. 1–24.

  2. (2)

    Ueber rationale Curven vierter Ordnung, « Math. Ann. », 12 (1877), pp. 90–122.

  3. (3)

    Apolarität und rationale Curven, Tübingen 1883, p. 238 e segg.

  4. (4)

    Ueber die rationale ebene Curve vierter Ordnung, « J. für die reine und angew. Math. », 101 (1887), pp. 300–325.

  5. (5)

    Ueber die Combinanten binärer Formensysteme, welche ebenen rationalen Curven zugeordnet sind, « Inaugural-Dissertation », Tübingen (Stuttgart, 1887); sunto con lo stesso titolo in « Math. Ann. », 32 (1888), pp. 136–150.

  6. (6)

    Die rationale Plancurve 4. Ordnung im Zusammenhang mit der binären Form 6. Grades, « Inaugural-Dissertation », Giessen, 1886.

  7. (7)

    ,Die rationalen ebenen Kurven 4 ter Ordnung und die binäre Form 6ter Ordnung, « Inaugural-Dissertation », Königsberg, 1888.

  8. (8)

    Ueber die rationale ebene Curve vierter Ordnung, « J. für die reine und angew. Math. », 104 (1889), pp. 302–320.

  9. (9)

    Cfr. pureJ. H. Neelley,A note on the rational plane quartic curve with cusps or undulations, « Bull. Amer. math. Soc. », 34 (1928), pp. 639–645.

  10. (10)

    Cfr. la mia Nota:Sulla teoria dell' involuzione, specialmente dell' involuzione cubica, « Rend. dell'Accad. delle Scienze fis. e mat. di Napoli », (2) 5 (1891), pp. 35–40.

  11. (11)

    Symmetric binary forms and involutions, « Amer. J. of math. », 31 (1909), pp. 183–212 (pp. 200–212).

  12. (12)

    The osculants of plane rational quartic curves, « Amer. J. of math. ». 32 (1910). pp. 207–234. In questo lavoro è specialmente approfondito lo studio delle osculanti di una curva del 4o ordine. Sulle osculanti v. pureF. Morley,On reflexive geometry. « Trans. Amer. math. Soc. », 8 (1907), pp. 14–24.

  13. (13)

    Important covariant curves and a complete system of invariants of the rational quartic curve, « Trans. Amer. math. Soc. », 12 (1911), pp. 295–310.Bicombinants of the rational plane quartic and combinant curves of the rational plane quintic, « Trans. Amer. math. Soc. », 13 (1912), pp. 387–404.Three or more rational curves collinearly related, « Bull. Amer. math. Soc. », 19 (1913), pp. 395–401, 504–505. V. pureH. E. Arnold,Concerning the rational curves R 3 5 (II) and R 2 4 , « Amer. J. of math. », 52 (1930), pp. 601–606. Nel primo dei lavori diRowe (§ 3, pp. 305–310) la curva è anche considerata come sezione piana di una superficie diSteiner. Cfr. pureL. T. Moore andJ. H. Neelley,Rational tacnodal and oscnodal quartic curves considered as plane sections of quartic surfaces, « Amer. J. of math. », 50 (1928), pp. 467–472.

  14. (14)

    The rational plane quartic as derived from the normcurve in four dimensions by projection and section, « Amer. J. of math. », 33 (1911), pp. 203–248.

  15. (15)

    Vedasi in proposito il rapporto diJ. H. Neelley,The rational plane quartic curve, « Bull. of the Carnegie Institute of technology », Series 24, Nr. 8 (1929). V. pureR. A. Roberts,Notes on the plane unicursal quartic, « Proc. London math. Soc. », (2) 16 (1884), pp. 44–60;On certain quartic curves of the fourth class and the porism of the inscribed and circumscribed polygon, ibid., (2) 23 (1892), pp. 202–211.

  16. (16)

    Vedi (5), « Diss. », p. 44; « Math. Ann. », 32, p. 148.

  17. (17)

    W. Gross (5), « Diss. », p. 47; « Math. Ann. », 32, p. 149.

  18. (18)

    A. Clebsch,Theorie der binären algebraischen Formen, Leipzig, 1872, § 27.

  19. (19)

    C. Stephanos,Mémoire sur les faisceaux de formes binaires ayant une même jacobienne, « Mém. prés. par divers savants à l'Acad. des Sciences », Paris, tome 27, n. 7 (1881), p. 68.

  20. (20)

    C. Stephanos (19), pp. 33 e 68.

  21. (21)

    W. Fr. Meyer (3), pp. 283–287.

  22. (22)

    W. Gross (5), « Diss. », pp. 50–51; « Math. Ann. », 32, p. 150, dove tuttavia non interviene la nozione delle curve osculanti.

  23. (23)

    È il puntoP di cui trattaJ. E. Rowe a p. 393 del secondo lavoro cltato in (13).

  24. (24)

    Cfr.W. Gross (5), « Diss. », p. 45; « Math. Ann. », 32, p. 148;E. Meyer (7), p. 36;W. Sthal (8), p. 308.

  25. (25)

    A. Brill (2), nota a p. 108. Cfr. pureA. B. Coble (11), p. 204. Piú generalmente,A. B. Coble,Symmetric binary forms and involutions, « Amer. J. of math. », 32 (1910), pp. 333–364, (p. 345) ha rilevato che se una curva piana razionale d'ordinen han−1 flessi in linea retta, l'ulteriore intersezione della curva con questa retta è pure un flesso.

  26. (28)

    Sulle coniche invarianti di un fasciov. G. Battaglini,Sulle forme ternarie quadratiche, « Giorn. di mat. », (1) 8 (1870), pp. 38–59, 129–156 (pp. 134 e 143);S. Gundeleinger,Zur Theorie der Kegelschnittbüschels, « Zeits. für Math. und Physik », 20 (1875). pp. 153–159;F. Gerbaldi,Sul sistema di due coniche, « Ann. di Mat. », (2) 17 (1889), pp. 161–196. Cfr. pureS. Guldenfinger,Vorlesungen aus der analytischen Geometrie der Kegelschnitte, herausg. vonF. Dingeldey, Leipzig 1895, pp. 366–371;Salmon-Fiedler,Analytische Geometrie der Kegelschnitte, 6 Aufl., Leipzig 1903, Kap. XIX, pp. 640 e segg.

  27. (29)

    Cfr. ad esempioA. Clebsch (18), pp. 169–170.

  28. (31)

    W. Gross (5), « Diss. », p. 48; « Math. Ann. », 32, pp. 149–150. Sulla stessa questione cfr.W. Fr. Meyer,Zur Theorie der reducibeln ganzen Functionen von nVariabeln, « Math. Ann. », 30 (1887), pp. 30–74 (nota a p. 60);Zur algebraischen Erzeugung sämmtlicher, auch der zerfallenden ebenen rationalen Curven vierter Ordnung. « Math. Ann. », 31 (1888), pp. 96–133 (pp. 111–112);W. Stahl,Zur Erzeugung der ebenen rationalen Curven, « Math. Ann. », 38 (1891), pp. 561–585 (pp. 572–573);A. B. Coble (5), pp. 204–205.

  29. (32)

    Cfr.W. Stahl (8), p. 315, dove si parte dalla rappresentazione della curva mediante le derivate seconde di una forma binaria del 6o ordine,

  30. (33)

    Ph. Friedrich (6), § 6. Nell'ipotesi che le forme (1) siano le seconde derivate di una sestica binaria,F. Lindemann nelleVorlesungen über Geometrie diA. Glebsch, Leipzig 1876, nota a p. 900.

  31. (34)

    Em. Weyr,Die Lemniscate in rationaler Behandlung, « Abh. der k. böhm. Ges. d. Wiss. », (6) 6 (1873), n. 8.

  32. (35)

    Cfr., anche per le indicazioni bibliografiche, la mia Nota,Sulla lemniscata proicttiva, « Rend. dell'Istituto Lombardo », (2) 37 (1904), pp. 277–288, 304–313.

  33. (36)

    Cfr.G. Salmon,Traité de Géométrie analytique (Courbes planes), versione francese diO. Chemin, Paris 1884, p. 362;G. Salmon,Analytische Geometrie der höheren ebenen Kurven, « Deutsch. bearb. » vonW. Fiedler, 2 Aufl., Leipzig 1882, p. 341.

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Berzolari, L. Sulla curva piana razionale del quarto ordine. Annali di Matematica 24, 13–37 (1945). https://doi.org/10.1007/BF02417917

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