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Annali di Matematica Pura ed Applicata

, Volume 117, Issue 1, pp 263–295 | Cite as

Sopra l'esistenza dell'estremo assoluto per problemi variazionali di ordinen anche con riferimento a una nuova definizione di intorno

  • Natalia Berruti Onesti
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Sunto.

Nel presente lavoro viene ripreso in esame il problema dell'esistenza dell'estremo assoluto per una classe di integrali curvilinei dello spazio in forma parametrica dipendenti da elementi differenziali fino all'ordine n (n>3) e invarianti rispetto al parametro. Tale problema viene trattato, oltre che con riferimento alla definizione di intorno (ϱ)n di una curva ordinaria C 0 (n) , considerata in precedenti ricerche dall'A., anche in base a una nuova definizione di intorno {ϱ}n di una curva ordinaria C 0 (n) introdotta recentemente dall'A. Si perviene dapprima a un teorema di esistenza valido con riguardo sia all'una che all'altra delle citate definizioni. In seguito, invece, il problema stesso viene trattato separatamente nei due casi in cui si fa riferimento o all'una o all'altra delle definizioni sopra indicate, e si perviene a teoremi di esistenza dell'estremo assoluto la cui validità è assicurata in classi di curve ordinarie C(n) che sono complete rispettivamente di ordine n-(I) o di ordine n-(II). I risultati ottenuti, alcuni dei quali sono nuovi anche per n=3, vengono illustrati con vari opportuni esempi.

Literatur

  1. (1).
    N. Berruti Onesti,Sopra una classe di problemi variazionali di ordine n, Annali di Matematica pura ed applicata, S. IV,91 (1972), pp. 129–161. Nel seguito indicheremo tale lavoro con M.I.Google Scholar
  2. (2).
    S. Cinquini,Sopra i fondamenti di una classe di problemi variazionali dello spazio, Rend. del Circolo Matematico di Palermo, S. II,6 (1957), pp. 271–288. In una Memoria successiva (Sopra l'esistenza per una classe di integrali curvilinei in forma parametrica, Annali di Matematica pura ed applicata, S. IV,49 (1960), pp. 25–71) lo stesso Autore è pervenuto, nei casin=2,n=3, a teoremi di esistenza dell'estremo assoluto, mediante la semicontinuità. Assieme ad altre ricerche riguardanti i casi ora citati, lo stesso A. ha rilevato (Sopra una estensione di alcuni risultati di Calcolo delle Variazioni, Rend. Istituto Lombardo, Acc. di Scienze e Lettere,107 (1973), pp. 44–60) che la trattazione di casin=2 en=3 è valida in condizioni più ampie, poichè, essendo identicamente\(z'u_j + x'v_i + y'w_i = 0, \left( {i = 2,3} \right),\) è sufficiente considerare quelle terne di numeri realiu i,v i,w i, (i=2, 3) per le quali valgono le (1′), e tale rilievo è stato esteso daM. Borgogno (Sopra una relazione per gli integrali dei problemi variazionali in forma parametrica di ordine n, Rend. Istituto Lombardo, Acc. di Scienze e Lettere,109 (1975), pp. 273–280) al cason>3. È inteso che i risultati stabiliti nel presente lavoro sono validi anche nelle più ampie condizioni ora indicate, cui non facciamo riferimento per evitare ulteriori complicazioni.MathSciNetGoogle Scholar
  3. (3).
    Per una notazione abbreviata, cfr. la (8).Google Scholar
  4. (4).
    N. Berruti Onesti,Sopra la semicontinuità di una classe di integrali curvilinei per problemi variazionali di ordine n, Rend. Istituto Lombardo, Accademia di Scienze e Lettere,106 (1972), pp. 365–396;Sopra l'esistenza dell'estremo assoluto per una classe di problemi variazionali di ordine n, Rend. del Circolo Matematico di Palermo, S. II,24 (1975), pp. 195–228. Questo secondo lavoro verrà indicato, nel seguito, brevemente con M. III. Ulteriori ricerche riguardanti gli integrali 1*) sono state svolte daM. Borgogno, inSopra la semicontinuità degli integrali curvilinei dei problemi variazionali in forma parametrica di ordine n, Annali di matematica pura ed applicata S. IV,113 (1977), pp. 53–97.zbMATHGoogle Scholar
  5. (5).
    N. Berruti Onesti,Una nuova definizione di intorno di ordine n di una curva relativo a problemi variazionali, Rend. dell'Istituto Lombardo, Acc. di Scienze e Lettere Sc. A, Vol.110 (1976), pp. 322–331.Google Scholar
  6. (6).
    N. Berruti Onesti,A proposito della semicontinuità in problemi variazionali con riferimento a una nuova definizione di intorno di ordine n di una curva, Rend. dell'Istituto Lombardo, Acc. di Scienze e Lettere Sc. A, Vol.111 (1977).Google Scholar
  7. (7).
    Cfr. la Memoria citata per seconda in (2), Cap. II, § 2, n. 36 (cfr. la (24) del presente lavoro).Google Scholar
  8. (8).
    Per una notazione abbreviata, cfr. la (12) seguente.Google Scholar
  9. (9).
    Come abbiamo già osservato in precedenti lavori (cfr. la (8) di M. III, la Osservazione II del n. 4, le (2) e (6′) di M. I), rileviamo che anche nel presente lavoro si può prescindere dall'esistenza di tali derivate parziali, sostituendo all'ipotesi cheJ C(n)(n) sia quasi-regolare positivo quella della concavità (verso l'alto) della figurativa e, alla condizione cheJ C(n)(n) sia quasi-regolare positivo seminormale, quella dimostrata nel n. 3 del lavoro citato per primo in (4).Google Scholar
  10. (13).
    È evidente che le definizioni del presente numero coincidono con quelle di M. III, n. 1,c), e che sono state introdotte nuove notazioni soltanto per meglio distinguerle da quelle del n. 5.Google Scholar
  11. (16).
    Cfr.N. Berruti Onesti,Sopra le estremali relative ad integrali curvilinei dello spazio in forma parametrica, Annali di Matematica pura ed applicata, S. IV,52 (1960), pp. 79–106, cfr. la (4) del § 1, n. 2.CrossRefzbMATHGoogle Scholar
  12. (17).
    Cfr.S. Cinquini, Memoria citata per seconda in (2), Cap. I, § 1, n. 3 (v. la (1)) e Cap. II, § 1, n. 23 (v. la (37)).Google Scholar
  13. (18).
    Cfr. i nn. 9 e 12 del § 3.Google Scholar
  14. (19).
    Cfr. la (8). Cfr., inoltre, quanto si osserva, in seguito, nella (34) del n. 15.Google Scholar
  15. (20).
    Cfr. le (10) e (11) del n. 7. Qui e nel seguito tralasceremo, talvolta, il parametros.Google Scholar
  16. (22).
    Cfr. l'ultima uguaglianza del n. 12,a) di M. III, e, per la (25), l'ultima disuguaglianza dello stesso n. 12,a).Google Scholar
  17. (24).
    Cfr., nella Memoria citata per seconda in (2), Cap. II, § 2, n. 36. Ricordiamo che pern=3, come risulta dalle (10) e (11), è Σ′3=Σ′'3=Σ‴3=0, Σ*3=x′'2+y′'2+z′'2.Google Scholar
  18. (26).
    È ovvio che, in virtù della (45) l'ipotesi che Φ(t) sia inferiormente limitata è superflua. Analoga osservazione vale per il n. 17, assieme al n. 19, del presente lavoro.Google Scholar
  19. (27).
    Assieme alla (14), si fa presente quanto abbiamo ricordato nel n. 7,b) in merito alle (13′). I teoremi dei nn. 13 e 17 vengono enunciati pern>3. Pern=3 cfr., rispettivamente, l'Osservazione del n. 14 e le Osservazioni II e III del n. 17.Google Scholar
  20. (28).
    Cfr.S. Cinquini, Memoria citata per secònda in (2), Cap. I, § 3, n. 18.Google Scholar
  21. (32).
    È ovvio che anche all'esempio del capoversoa) è applicabile, a maggior ragione, l'estensione del n. 14.Google Scholar
  22. (38).
    Cfr. M. I., p. 155.Google Scholar

Copyright information

© Nicola Zanichelli Editore 1978

Authors and Affiliations

  • Natalia Berruti Onesti
    • 1
  1. 1.Pavia

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