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Sull'approssimazione delle funzioni di due variabili

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Sunto

Considerata una funzionez 0(x, y), la quale sia assolutamente continua (nel senso delTonelli) in un campo aperto limitatoD del piano(x, y), continua nel corrispondente campo chiuso\(\bar D\), e tale che esista finito l'integrale

$$I_D \left[ {z_0 } \right] = \mathop {\smallint \smallint }\limits_D f\left( {x, y, z_0 \left( {x, y} \right),\frac{{\partial z_0 \left( {x, y} \right)}}{{\partial x}},\frac{{\partial z_0 \left( {x, y} \right)}}{{\partial y}}} \right)dxdy.$$

ovef(x, y, z, p, q) è una funzione finita e continua in tutti i punti(x, y) di\(\bar D\) e per tutti i valori finiti diz, p, q, si danno delle condizioni sotto le quali è possibile approssimare, a meno di un ɛ arbitrario, la funzionez 0(x, y), mediante una funzionez(x, y) finita e continua con le sue derivate parziali del primo ordine in ogni punto di\(\bar D\), in modo che anche l'integraleI D[z] approssimi l'integraleI D[z0] a meno dell' ɛ prefissato.

Literatur

  1. (1)

    Per le definizioni dicampo aperto limitato e difunzione di due variabili assolutamente continua, vedi:L. Tonelli,Sur la semi-continuité des intégrales doubles du Calcul des Variations, « Acta Mathematica », T. 53 (1929), pag. 325 e segg, n.i 1 e 2.

  2. (2)

    L. Tonelli,Sopra alcuni polinomi approssimativi, « Annali di Matematica », Serie III, T. XXV, pag. 275 e segg., § V, n.o 26;L. Tonelli,Successioni di curve e derivazione per serie, Nota II, « Rend. della R. Accademia dei Lincei », Serie V, vol. XXV (1916, 1o sem.), pag. 85 e segg., n.o 4;L. Tonelli,Fondamenti di Calcolo delle Variazioni, Zanichelli, Bologna, vol. I, Cap. IX, n.o 141;M. Laurentieff,Sur quelques problèmes du Calcul des Variations, « Annali di Matematica », Serie IV, T. IV, pag. 7 e segg., n.o 4;L. Tonelli,Sur une question du Calcul des Variations, « Rec. Math. Moscou », T. XXXIII, 1 (1926).

  3. (3)

    L. Tonelli,Sopra alcune proprietà di un polinomio di approssimazione, « Rend. della R. Accademia dei Lincei », vol. III (1926), pag. 714 e segg..

  4. (4)

    L. Tonelli,Su l'integrale di Dirichlet. « Mem. della R. Accademia delle Scienze di Bologna » (1929).

  5. (5)

    L. Tonelli,Sulla definizione di funzione di due variabili a variazione limitata, « Rend. della R. Accademia dei Lincei », vol. VII (1928), pag. 357 e segg..

  6. (6)

    È noto che ogni funzione lipschitziana è assolutamente continua. Vedi:L. Tonelli, luogo cit. in (1), n.o 2.

  7. (7)

    VediL. Tonelli, luogo cit. in (3).

  8. (8)

    VediL. Tonelli,Sulla rappresentazione analitica delle funzioni di più variabili reali, « Rend. del Circolo Mat. di Palermo », T. XXIX (1910, 1.o sem.), pagg. 1–36; n.i 10, 19, 21. Si tenga presente la nota (3) del luogo cit. in (4).

  9. (12)

    VediL. Tonelli, opera cit. per terza in (2), n.o 56, pag. 165.

  10. (13)

    Vedi luogo cit. in (4), n.o 3.

  11. (15)

    VediL. Tonelli, luogo cit. in (1), n.o 13.

  12. (16)

    VediL. Tonelli, luogo cit. in (10).

  13. (17)

    VediL. Tonelli, luogo cit. in (4), n.o 6.

  14. (21)

    VediG. Vitali,Sui gruppi di punti ecc., « Atti della R. Accademia delle Scienze di Torino », vol. XLIII (1907–8).

  15. (22)

    Cfr.L. Tonelli, luogo cit. in (4), n.o 2.

  16. (24)

    VediJ. L. W. V. Jensen,Sur les fonctions convexes ecc., « Acta Mathematica », T. 30 (1906), pag. 186, n.o 4.

  17. (26)

    VediL. Tonelli, luogo cit. in (17).

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Lavoro eseguito nel Seminario Matematico della R. Scuola Normale Superiore di Pisa.

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Cinquini, S. Sull'approssimazione delle funzioni di due variabili. Annali di Matematica 11, 295–323 (1933) doi:10.1007/BF02417833

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