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Sopra alcune applicazioni degli invariauti adiabatici

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Sunto

Nel primo capitolo si generalizza e si perfeziona il metodo trattato in ricerche precedenti per verificare se l'errore commesso ritenendo invarianti adiabatici gli integrali ciclici diBohr-Sommerfeld di un sistema meccanico qualora i parametri non variano in maniera infinitamente lenta e graduale rimane entro limiti prefissati. I resultati vengono applicati al problema del moto armonico con forza di richiamo variabile col tempo e al problema dei due corpi di massa variabile dimostrando come una insignificante variazione di eccentricità dell'orbita di uno dei due corpi rispetto all'altro non sia incompatibile con una enorme variazione di massa.

Nel secondo capitolo viene indicata un metodo di integrazione approssimata per i sistemi meccanici con parametri dipendenti dal tempo, e si calcola un valore maggiorante per l'errore commesso con questa approssimazione.

Nel terzo capitolo si tratta, in vista di ricerche future, lo studio di un sistema meccanico con due parametri variabili di cui uno solo in maniera prossima ad essere infinitamente lenta e graduale, e si dimostra come gl'integrali ciclici del sistema possono venire approssimati con altre grandezza di più facile calcolo.

Literatur

  1. (2)

    Gli invarianti adiabatici come metodo d'integrazione approssimata di equazioni differenziali. « Rendiconti Accademia dei Lincei », I sem., 1932, pag. 657. Limitazione dei valori degli invarianti adiabatici con applicazione al problema delle masse variabili. Parte I e II « Atti Accademia Torino », 1933.

  2. (1)

    Sull'eccentricità dell'orbita nel problema dei due corpi di massa variabile. « Rendiconti Accademia dei Lincei », I sem., 1934, pag. 144 e 223.

  3. (2)

    Il concetto di variazione totale si trova esposto p. es. inL. Tonelli,Fondamenti di Calcolo delle Variazioni, Bologna 1923, I vol., pag. 40. Siccome in questo trattato a pag. 171 per le funzioni assolutamente continue (e quindi in particolare per le funzioni derivabili e con derivata continua a cui sempre ci limiteremo) si dimostra che la variazione totale di una funzionef(x) in un intervallo (a, b) vale\(\int\limits_a^b {\left| {f'} \right|} \) dxnoi intenderemo sempre questo integrale come la variazione dif(x) in (a, b). È da notare che sef(x) è sempre crescente o decrescente la variazione totale vale |f(b) −f(a) |.

  4. (3)

    In un sunto dei miei lavori già citati, fatti dalWintner sui « Zentralblatt für Mathematik » (5–15 e 7–372) si afferma che l'idea delle mie altre ricerche non ê nuova, perchè l'ebbe già ilKneser (« Mathematischen Annalen », 91, 155, 1924). Debbo dichiarare che a me sembra essere scopo delKneser quello di dare una dimostrazione esatta dell'invarianza adiabatica degli integrali ciclici diBohr-Sommerfeld, mentre la mia ricerca si propone (ripetiamolo) di ottenere un limite superiore per l'errore commesso, qualora i parametri non varino nel modo che assicura l'invarianza adiabatica degli integrali ora citati. Di più nella sua Nota ilKneser non fa alcuna applicazione dei suoi resultati, tanto meno al problema delle masse variabili. nel quale gli invarianti adiabatici furono introdotti solo nel 1928 dalLevi-Civita. Per queste ragioni mi sembra inesatta l'asserzione delWintner. Debbo dichiarare però che ho preso dalKneser alcune notazioni. Si osservi ancora che in questo lavoro si usa l'espressione limite superiore dell'errore, ma che sarebbe più esatto adoperare il termine valore maggiorante.

  5. (1)

    Cfr. il primo lavoro citato a pag. 1.

  6. (1)

    Si noti che nel caso della legge delJeans, (Astronomy and Cosmogony, pag. 130–131) si hadB/dt con α costante e la nostra ipotesi su Δa′ risulta verificata. Difatti\(\begin{array}{*{20}c} {da} \\ {dt} \\ \end{array} = - \alpha e^{2a} ,\Delta a = \alpha \int\limits_{t_r }^{{}^tr + 1} {e^{2a} dt,{\mathbf{ }}\Delta a' = 2\alpha \int\limits_{t_r }^{{}^tr + 1} {e^{4a - 2\bar a} dt} } \) doveā è un valore dit intermedio frat r et r+1. Siccomea varia int r ,t r+1 di quantità trascurabili si può suporree 2(aā)=1 e perciò resulta subito Δa′=2Δa cioè Δa e Δa′ sono dello stesso ordine di grandezza. Si noti che il ragionamento vale ponendo in luogo dell'esponente 3 qualunque esponente e perciò è applicabile anche per la legge proposta dall'Armellini (« Rendiconti Lincei » II sem., 1932).

  7. (1)

    « Rendiconti Accademia dei Lincei », II sem., 1932.

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Graffi, D. Sopra alcune applicazioni degli invariauti adiabatici. Annali di Matematica 15, 87–128 (1936) doi:10.1007/BF02417811

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