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Annali di Matematica Pura ed Applicata

, Volume 15, Issue 1, pp 1–45 | Cite as

Contributi alla teoria delle connessioni

I. Connessioni proiettive: Costruzione al finito, classificazione secondo klein
  • Enea Bortolotti
  • Václav Hlavatý
Article

Sunto

Gli AA. espongono una ricostruzione, che a un tempo è semplificazione e completamento in punti essenziali, e modificazione abbastanza profonda dal punto di vista concettuale, della teoria delle connessioni proiettive: basata su un procedimento di passaggio al limite, a partire da costruzionial finito. Premettono l'esposizione del formalismo adottato: cui dà concretezza il poggiare su considerazioni geometriche semplici ed espressive. Precisano e analizzano la nozione di derivazione proiettiva; passano poi a una classificazione delle connessioni proiettive secondo le vedute diKlein: in cui accanto alle connessioni affini, metriche (diWeyl), euclidee appaiono per la prima volta in tutta la generalità le « connessioni metriche non-euclidee », variamente utilizzate, in casi particolari, nelle recenti teorie della « Relatività proiettiva ».

Literatur

  1. (1).
    Ved. p. es.48, p. 162;49, pp. 185–186. (I numeri si riferiscono all'Elenco bibliografico).Google Scholar
  2. (2).
    1, p. 389;4, 5, 12, 13, 14, 20; e29, ove la veduta delCartan è formulata in tutta la sua generalità.Google Scholar
  3. (3).
    20, p. 318 e seg.Google Scholar
  4. (4).
    Dal n. 6 in poi useremo più semplicemente 1, 2, ...n quali contrassegni fissi per len coordinate curvilinee. Vedi (10). Non ci varremo nel presente lavoro di coordinate curvilineeomogenee: circa le quali ci limitiamo a rimandare ai lavori di v.Dantzig eSchouten, spec.71, 89, 93 (p. 41),100; ved. anche108.Google Scholar
  5. (5).
    L'utilità della considerazione deipunti analitici accanto aipunti geometrici è apparsa manifesta sin dai primi lavori sulle connessioni proiettive. (Ved.14, 17). Ma grande la varietà di definizioni e di denominazioni! Ilpunto analitico è stato dettodensità puntuale (56, 61), punto dotato di unpeso (69) opunto quotato (100),pro-vettore controvariante (H.84: con le iniziali H. o B. contrassegniamo i lavori dovuti agli AA. della pres. memoria) e il punto geometrico è stato detto luogo, oposto (spot, Ort) (89, 71), opunto-ideale (92, 108) ocontro-punto (H.84). Le denominazioni qui prescelte hanno forse maggiore probabilità di entrare nell'uso. Già qualche Autore le adotta: ved. p. es.S. Finikoff,97, p. 212.Google Scholar
  6. (6).
    IC-riferimenti si presentano nel modo più naturale a chi voglia studiare le proprietà proiettive delleX u inP N: ved. B.67 e70, p. 35 e seg. e pp. 9–10, ove la nozione è introdotta come particolarizzazione deiB-riferimenti, di cui qui invece si parlerà più oltre (n. 6). Le corrispondenti trasformazioni, caratterizzate dalle (3.6), o dalleC) del n. 7, sono state introdotte dalVeblen:52, pp. 144–146. Ved. anche65, p. 332; B.66, p. 373.Google Scholar
  7. (8).
    DalCartan (14) sono introdotti e usati gliA-riferimenti più generali; ved. inoltre B.70, pp. 6, 23.Google Scholar
  8. (9).
    Anche per gliA 0-riferimenti ved.Cartan,14, p. 210; B,70, p. 7. Cfr.56, p. 107 e seg.Google Scholar
  9. (11).
    IB-riferimenti sono introdotti in B.70, pp. 8, 18; sulle corrispondentiB-trasformazioni già un cenno è in65, p. 352. Vedi anche B.78; e94, pp. 182–183.Google Scholar
  10. (12).
    La parola « valenza », adottata dav. Dantzig, daSchouten eStruik al luogo di quello che i più chiamano « ordine » di un tensore (ved.71, p. 451;107, p. 7) è assai espressiva e appropriata: basti pensare allasaturazione degli indici.Google Scholar
  11. (13).
    Anche a proposito dei tensori proiettivi (cfr. (5)) la terminologia finora usata dai differenti Autori è quanto mai varia; non solo, ma gli stessi nomi hanno indicato enti spesso distinti. In un primo tempo si è dettotensore proiettivo (T. Y. Thomas:25, p. 318) un tensoreaffine, invariante per le trasformazioni di una connessione affine che ne conservano le geodetiche. DalVeblen è stato detto tensore proiettivo quello che qui è chiamato D-tensore (48) poi quello che qui vien detto C-tensore proiettivo analitico (52). In lavori recenti il tensore proiettivo analitico vien detto spessoproiettore (71, 74, 89, 108), mentre il tensore proiettivo geometrico, qui definito un po' più innanzi (n. 7), è stato chiamatoproiettore-ideale (92, 108). Pei due enti sono state usate anche le denominazioni rispettive:pro-affinore, eproiettore (H.84). Nei vari casi si trattava, volta a volta, diC-tensori,D-tensori ed anche di enti soggetti ad altre leggi di trasformazione. Speriamo che la presente formulazione possa apparire abbastanza chiara e completa! La parola « tensore », qui adottata, è già nell'uso in un significato che comprende quelli attribuiti alle paroleaffinore, proiettore, ecc. .... Scegliere una diversa parola pei diversi tipi di tensore (nel senso comunemente inteso), anche soltanto pei principali, è forse una complicazione superflua! Anche su questo punto pensiamo sia opportuna una semplificazione. La parola « peso », per un tensore proiettivo, è qui usata in un significato che è estensione diretta e naturale di quello usuale (ved. per es. H.44). Le denominazioni « eccesso » e « grado » sono state introdotte dalv. Dantzig (71, p. 451). Ricordiamo che pelv. Dantzig le componenti di un tensore sono funzioni omogenee (dello stesso grado) dellen + 1 variabiliomogenee, cui i punti della varietà sono riferiti: il grado del tensore è semplicemente il grado d'omogeneità ora detto. Ma avuto riguardo alle (7.7) l'uso della stessa parola nelle nostre ipotesi (alquanto differenti) appare giustificato. L'eccesso è pelv. Dantzig la differenza fra il grado e la « valenza algebrica » (differenza fra la valenza controvariante e la valenza covariante) del tensore (onde la denominazione): questa relazione è perp=0 — concambiamento di segno della « valenza algebrica »; in modo da dare ai punti analitici (di peso 0), in armonia con la (3.5), il-grado −1 — la nostra (7.6), l'estensione è naturale. Sia l'eccesso che il grado possono considerarsi estensioni di quella che vien detta (51; 107, p. 10)classe di una pseudograndezza, in relazione a una pseudograndezza fondamentale (di classe 1).Google Scholar
  12. (14).
    Cfr.56, p. 102;107, p. 22.Google Scholar
  13. (16).
    Ved.48, p. 158; B.70, p. 12. Le stesse considerazioni valgono anche, più in generale, perA-tensori proiettivi, quando però alla trasformazione per questi si associ, con condizioni analoghe alle (6. 1), una trasformazione del riferimento anolonomo locale affine: ved.56, p. 112, o61, I, pp. 200–201.Google Scholar
  14. (17).
    La questionedell' (n + 1)-mo differenzialeo, o in particolare (in relazione a unC- oD-riferimento)dell' (n + 1)-mo parametro, è stata assai discussa: la soluzione che ne diamo, in relazione a unB-riferimento, appare semplice e chiara, mostrando in modo ben esplicito qual'è l'elemento arbitrario di cui abbiamo bisogno per dedurnedξ0. Una effettiva costruzione di ξ0 in relazione a unD-riferimento si ha in H.84, pp. 224–225; là l'elemento arbitrario è uno scalare additivo. Ved. anche, pel caso generale (B-riferimento)56, p. 120, e peiC-riferimenti, i lavori diVeblen eWhitehead (52, 57; 55, 65). Ricordiamo che per questi Autori ξ0 è un parametro indipendente da ξ1, ξ2, ... ξn; e che le componenti dei tensori proiettivi da essi sono considerati dipendenti, per mezzo di un fattoree Mξ0, anche de ξ0;M si dicel'indice del tensore. Ved. su questo anche B.70, p. 12.Google Scholar
  15. (18).
    Precisamente, è al n. 20, nei riguardi dellegeodetiche, che ci riuscirà utile non assoggettaredξ0, a priori, alla condizione (10. 4).Google Scholar
  16. (19).
    Ved. H.84 (già cit.), pp. 224–225.Google Scholar
  17. (20).
    Circa la nozione di spazio tangente ved. spec.14, 52, 53, 54, 56, 95 (III),108. Si tratta in fondo di una questione d'interpretazione. Ma appare naturale valersi di quell'elemento concreto, che è lo spazio lineare — proiettivo —delle direzioni diX n nel puntoP che si considera. (Cfr.52, B.64, B.70). Inteso dunque che questo spazio di direzioni, insieme al puntoP, si pensino dar origine allo spazio proiettivo tangente (quale spaziopuntuale), risultano intantolocalizzabili rispetto alle tangenti alle linee coordinate del sistema curvilineo ξr (cioè, riferibili ad esse mediante coordinate) le congiungenti diP agli altri punti fondamentali e unità locali di unA 0-riferimento: ciò rende lecito ripetere nel caso attuale le considerazioni che nel n. 6 hanno condotto aiB-riferimenti, e giustifica quanto svolgeremo al n. 17 circa ladeviazione di una connessione proiettiva. Con questo lo spazio proiettivo tangente non risulta del tutto localizzato rispetto alla varietà, nel senso che unaqualunque famiglia d'iperpiani degli spazi tangenti, non passanti pei punti di contatto, può identificarsi col sistema degli iperpiani fondamentali opposti ai punti di contatto in unA 0-riferimento arbitrariamente assegnato. Una localizzazione completa si può fare in relazione a una data connessione proiettiva: ved.14, 54 e B.70, pp. 18–19.Google Scholar
  18. (21).
    Una prima applicazione delle vedute qui adottate si può trovare in H.106, p. 9 e seg.Google Scholar
  19. (25).
    Questi che più innanzi (n. 18) diciamo — onde distinguerli dai « parametri proiettivi », come Γμvλ — «parametri misti » della connessione proiettiva, si presentano nel modo più naturale quando di questa si vuol dare una rappresentazione analitica. Le forme pfaffiane ωμλ con le quali opera, almeno in un primo tempo, ilCartan, sono le Λμrλr (14, p. 210); loSchouten nei lavori precedenti, quelli fatti in collaborazione colD. v. Dantzig (69, e seg.) si è valso pure generalmente di parametri misti (17, p. 419;34, p. 153;61, 1, p. 197). Ved. anche56: B.64, II, p. 29 e seg.;54, p. 722.Google Scholar
  20. (28).
    L'osservazione è dovuta alCartan (14, p. 212). Cfr.Schouten,17, p. 421 o34, p. 154;56, 61, ove è posto τ =c (cost. arbitr. ≠ 0); B.70, pp. 17–18; H.84, p. 238. Nella (17.2) e seg. dovremmo, veramente, scrivere Δori, anzichè Δors (n. 5): l'indicei riferendosi al sistema proiettivo locale, l'indicer al riferimento curvilineo. Il significato di δri è questo: l'unità, o lo zero, secondo che, nelledue serie di valori 1 ...n, a 1 ... an, i edr prendono valori d'egual posto o di posto differente. La (17.4), come più sotto è precisato nel testo, vale afissare l'omografia II (n. 6), facendola coincidere con l'omografiaT; è questo che consente l'identificazione dei contrassegniijh... edrst....Google Scholar
  21. (29).
    La nozione dideviazione è introdotta in B.70, p. 16. Esempi di connessioni (o di derivazioni) proiettive che presentanodeviazione non nulla si hanno nelle varie teorie della Relatività proiettiva, ved. ad es.57, 58, 69, 74, 81, 89, 100.Google Scholar
  22. (31).
    Già dalCartan (14, p. 211) è stato osservato che sono sufficienti a rappresentare la connessione, e in relazione a un riferimento generale ne sono individuate, le forme ωμλμλωoo: le quali hanno per coefficienti proprio le nostreL μrλ. Ved. B.64, II, p. 30; B.70, p. 20. Il sistemaL μrλ si presenta in modo affatto analogo, anche nei riguardi della formazione deltensore di curvatura (ved. più oltre, form. (22.5)) al sistemaL trs che figura nella teoria degli invarianti di una connessione affine per le trasformazioniche ne conservano il parallelismo delle direzioni. Ved. B.60, pp. 76, 89, 93; B.66, pp. 366, 370, 375. Si può rendere sempre Δoro =0; questo appare dalle (17.7), o a partire dalle rappresentazioni al finito, può ottenersi come è accennato in questo lavoro a fine n. 18. (La condizione si conserva poi soltanto sotto la condizione τAro = ϱr log ρ). AlloraL μrλ si identifica con Λμrλ: questa via è seguita ad es. in17, p. 421;34, p. 154;56, p. 110.Google Scholar
  23. (32).
    Cfr.T. Y. Thomas,26, 33 \(\left( {\tau = - \frac{1}{{n + 1}}} \right)\);Veblen,48, 52 (τ =1);Schouten, Golab.56, 61; H.80 (τ =c, cost.). Si noti che, per le (17.2), τ è invariante nei cambiamenti delB-riferimento.Google Scholar
  24. (33).
    Questi parametrinormalizzati sono introdotti in B.70, pp. 19–21. Un altro tipo di parametri normalizzati, esprimibile ad es. così,P μvλ=L μλδvr+\(\frac{1}{n}\delta _\mu ^\lambda L_{\nu s}^s \), era stato introdotto in B.64, III, p. 88, o B.66, p. 375 (ved. anche B.70, p. 21;94, p. 184) in analogia col sistema dei parametri della connessione affine invariante, determinata da una legge di trasporto lineare delle direzioni (B.60, p. 78; B.66, p. 365).Google Scholar
  25. (34).
    L'impossibilità di determinare, in generale,in modo intrinseco alla connessione i differenziali proiettivi dei tensori è stata variamente enunciata e interpretata. Ved.56, pp. 120–122;61, I, pp. 206–208; B.70, p. 23;71, pp. 423–424; H.84, pp. 245–246;100, p. 67; H.105, p. 122. La via per la quale si è giunti ai sistemi diparametri proiettivi Γμvλ di una connessione proiettiva, e quindi allederivazioni proiettive (n. seg.), non necessariamente legate a una connessione proiettiva vera e propria, non è veramente quella che qui sopra abbiamo adottato. Le ricerche su quelle che ilWeyl ha chiamato le proprietàproiettive di una connessione affine (proprietà invarianti per le trasformazioni che ne conservano le geodetiche) — cioè: su quella che è stata detta lageometria proiettiva dei cammini — (ved.3, 8, 9, 10, 21; 41, B.64, 96) hanno condottoT. Y. Thomas a introdurre, partendo da una connessione affine Γstr, un sistema Πstr che ha una differente legge di trasformazione, ma èinvariante nel senso detto sopra: e che egli ha detto sistema dei «coefficienti della connessione proiettiva ». (Ved.22, 23, 24, 25, 32, 59 (ove ilThomsen pel cason=2 ricavaanche una connessione affine proiettivamente invariante);72, 76). Ora è appunto il sistema Πstr, di cui subito era apparsa l'importanza fondamentale nella geometria proiettiva dei cammini, che dallo stessoT. Y. Thomas è stato completato in un sistema ∏str di « parametri proiettivi » (nel senso precisato qui sopra nel testo); e ciò allo scopo di render possibile una interpretazioneaffine (n + 1)-dimensionale. Ved.26, 33, 39, H.43, H.46 (ove la teoria diT. Y. Thomas viene estesa e completata);47, 48, 48, 50. Con ulteriori ricerche diVeblen, Weyl, Whitehead ed altri (52, 53, 54, 55, 57; 63, 65, 94) la teoria è andata riavvicinandosi alla sua essenza geometrica, dalle sue origini formali; il processo di riavvicinamento ed unificazione con le primitive teorie diCartan eSchouten si è compiuto poi al suo ritorno in Europa (56, 61; B.70, B.78; H.83, H.84); e un notevole impulso la teoria ha avuto dalle ricerche recenti sulla Relatività proiettiva (69, 74, 75, 77, 87, 88, 89, 90, 91, 100; cfr.57, 58, 68, 81), ricerche guidate — dopo i primi lavori della Scuola diVeblen — dalloSchouten, e basate su un formalismo costruito dav. Dantzig (71, 73, 92), daSchouten stesso edHaantjes (ved., oltre alle opere già citate,108). Dire come siano congegnate tutte queste ricerche e anche soltanto come vi siano introdotte e trattate, col mezzo di « parametri proiettivi », le connessioni, sarebbe assai lungo e oltre tutto superfluo! Ci limitiamo a chiarire il nostro punto di vista: il formalismo dei parametri proiettivi offre alle connessioni proiettive una rappresentazione comoda e anche utile, benchè complicata con l'introduzione di elementi non intrinseci, quale èdξ0. Ma soprattutto apre la via a generalizzazioni (« derivazione proiettiva ») e ad applicazioni, e sono queste che dànno alla teoria uno scopo. A questo proposito rimandiamo ai nostri lavori: H.80; B.67, 70, 78; H.83, 84, 105. (In H.83, in relazione all'ente studiato — una ipersuperficie di uno spazio proiettivo —dξ0 viene determinato; ciò risulta possibile appunto in quanto l'ente considerato dà luogo a un sistema d'iperpiani negli spazi tangenti (n. 10). Cfr. B.67, 70).Google Scholar
  26. (35).
    Cfr.14, p. 219; B.70, pp. 30–31; e i lavori diSchouten ev. Dantzig, ove la nozione appare profondamente modificata. Ved. ad es.71, p. 431;100, p. 68.Google Scholar
  27. (36).
    Ved. loc. cit. (34).Google Scholar

Copyright information

© Nicola Zanichelli Editore 1936

Authors and Affiliations

  • Enea Bortolotti
    • 1
  • Václav Hlavatý
    • 2
  1. 1.Firenze
  2. 2.Praga

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