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Equazioni differenziali ordinarie quasilineari con condizioni lineari

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Sunto.

Si danno teoremi di esistenza per il problema ai limiti(E) (C) in ipotesi di continuità oppure diCarathéodory.

Literatur

  1. (2)

    Tale osservazione vale anche in condizioni più generali relativamente alla trasformazione ed allo spazio in cui essa opera. Si vedaR. Conti,Un'osservazione sulle trasformazioni continue di uno spazio metrico e alcune applicazioni « Le Matematiche », Catania, 15 (1960) 92–97.

  2. (3)

    L. A. Ladyzenskii,Condizioni per la completa continuità dell'operatore integrale di P. S. Urysohn nello spazio delle funzioni continue, « Dokl. Akad. Nauk S. S. S. R », 97 (1954), 1105–1108; Cfr. ancheM. A. Krasnosel'skii,Metodi topologici nella teoria delle equazioni integrali non lineari (G. I. T. T. L., Mosca, 1956). L'enunciato del teorema è il seguente: « Sia Δ un insieme chiuso e limitato di unE k euclideo e la funzioneK(t, s, u) definita int, s ε Δ,u εE 1 soddisfi le seguenti condizioni:a)K(t, s, u) sia continua inu per ognit ε Δ e per quasi tutti glis ε Δ e sia misurabile —L ins pert ε Δ,u εE 1 ;b) per ogni α>0 sia\(\int\limits_\Delta {\mathop {\sup }\limits_{\left| u \right| \leqslant \alpha } } \left| {K\left( {t,s,u} \right)} \right|ds< \infty , t \in \Delta \) \(\mathop {\lim }\limits_{\left| h \right| \to 0} \int\limits_\Delta {\mathop {\sup }\limits_{\left| u \right| \leqslant \alpha } } \left| {K\left( {t + h,s,u} \right)} \right| - K\left( {t,s,u} \right)\left| {ds} \right. = 0,t, t + h \in \Delta .\) Allora l'operatore (diUrysohn)\(\int\limits_\Delta {K\left( {t,s,x\left( s \right)} \right)ds} \) opera nello spazioR (n=1) ed è completamente continuo ». La dimostrazione di questo teorema si trasporta senza difficoltà al cason>1.

  3. (4)

    Cfr.A. Smogorshewsky,Les fonctions de Green des systèmes différentiels linéaires dans un domaine à une seule dimension, « Matem. Sbornik », 7 (49) (1940), 179–196.

  4. (5)

    I. Barbalat-A. Halanay,Solutions périodiques des systèmes d'équations différentielles non linéaires, « Revue math. pures et appl. (R.P.R) », 3 (1958), 395–411;L. N. Esciukov,Su un problema funzionale per le equazioni differenziali ordinarie, « Uspiehi Mat. Nauk », XIII, 3 (81), (1958), 191–196;R. Conti,Equazioni differenziali ordinarie con condizioni lineari generali, « Accad. Naz. Lincei, Rend. Cl. Sc. fis. mat. nat. », (8) 26 (1959), 636–640.

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A Enrico Bompiani in occasione del suo Giubileo scientifico.

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Conti, R. Equazioni differenziali ordinarie quasilineari con condizioni lineari. Annali di Matematica 57, 49–61 (1962). https://doi.org/10.1007/BF02417726

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