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Annali di Matematica Pura ed Applicata

, Volume 10, Issue 1, pp 1–31 | Cite as

Sul problema preliminare di una classica questione di calcolo delle variazioni

  • Gabriele Mammana
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Sunto

L'Autore fa la trattazione rigorosa del problema preliminare relativo alla classica questione di minimizzare l'integrale\(\mathfrak{J} = \int\limits_{x_1 }^{x_2 } {y^{\frac{1}{n}} \sqrt {1 + y'^2 } dx} \), (n>0). Fissato un puntoP0 del piano, determina l'insiemeE nel quale bisognerà assegnare un secondo punto P, che possa essere congiunto aP0 mediante un estremale Γ relativa a ℑ. Dà l'equazione della frontiera Γ* diE e ne studia l'andamento e le relazioni con le estremali uscenti daP0. Dimostra che perP0 e per un puntoP diE passa una sola estremale (non estremante) seP è in Γ*, ne passano due seP è interno aE, e assegna il criterio per decidere quale delle due può realizzare il minimo per ℑ.

Literatur

  1. (I).
    NelCours d'Analyse delGoursat, T. III, n. 622, trovasi esposta una dimostrazione, basata su considerazioni di carattere intuitivo, la quale dovrebbe valere ad assicurare la proprietà sopra enunciata, ma questa dimostrazione non può dirsi dal punto di vista dello stretto rigore analitico soddisfacente. (Cfr. pureHadamard,Calcul des variations, livre III, Cap. III, Paris, Hermann, 1910). Alla stessa conclusione si può pervenire con metodo indiretto, ma ciò richiede la conoscenza di elevata teoria. (Cfr.Tonelli,Fondamenti del calcolo di variazioni, Vol. II.Alcuni problemi classici. Bologna, Zanichelli, 1923). Per una dimostrazione diretta rigorosa cfr.G. Mammana, Circolo Matematico di Palermo, T. XLIX.Google Scholar
  2. (II).
    Cfr. Teorema diBolza citato nella nota 12, II, n. 1 della presente Memoria,Google Scholar
  3. (III).
    Circa l'esistenza di tangenti per un punto dell'asse dellex ecc. cfr. nota 21, II, n. 3 di questa Memoria ePicone,Corso di Analisi superiore (litografato), fasc. II, pag. 207, Circolo Matematico di Catania, 1922, ove alle pagg. 210 e 211, è in proposito rettificata un'erronea affermazione generalmente ripetuta.Google Scholar
  4. (V).
    Cfr. le considerazioni di carattere intuitivo delGoursat, loc. cit., n. 634, con le quali la proprietà relativa alla posizione del punto di contatto sull'estremale, verrebbe dedotta.Google Scholar
  5. (16).
    Cfr.Goursat, T. III (1923), pag. 579 e segg. delCours d'Analyse Mathématique.Google Scholar
  6. (19).
    Goursat,Cours d'Analyse, T. III (1923), pag. 591.Google Scholar
  7. (20).
    Picone,Calcolo delle variazioni, corso litografato (1922); Circolo Matematico di Catania, pag. 207.Google Scholar

Copyright information

© Nicola Zanichelli 1932

Authors and Affiliations

  • Gabriele Mammana
    • 1
  1. 1.Cagliari

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