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Annali di Matematica Pura ed Applicata

, Volume 77, Issue 1, pp 303–316 | Cite as

On the global existence of solutions and Liapunov functions

  • Junji Kato
  • Aaron Strauss
Article

Keywords

Global Existence Liapunov Function 
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Sunto

Per l'equazione differenziale ordinaria
$$x' = f(t, x)$$
(E)
le funzioni di Liapunov sono state construite usando ipotesi diverse; ad esempio,(1) la soluzione nulla è stabile su [0, ∞),(2) la soluzione nulla é uniformemente stabile su[0, ∞), e (3) tutte le soluzioni sono limitate nel futuro (cfr. ad es.[A, H, Y]). In questo lavoro costruiamo le funzioni di Liapunov partendo da ipotesi in certo senso minime, supponendo cioè soltanto l'esistenza globale delle soluzioni. Le funzioni di Liapunov costruite per l'esistenza sono poi usate per stabilire se le soluzioni hanno le proprietà addizionali(1), (2) e(3).

Specificamente, nel teorema 1, dimostriamo che l'esistenza come soluzione della(E) della funzione nulla si può caratterizzare in termini di funzioni di Liapunov; cioè, se la funzione nulla è una soluzione, allora esistono due funzioni di Liapunov, una delle quali si può poi usare per decidere circa la stabilità di quella soluzione, e l'altra per la stabilità uniforme. Queste stabilità si considerano su (− ∞, ∞) anzichè su [0, ∞). Nel teorema 2 troviamo una condizione necessaria e sufficiente sulle funzioni di Liapunov perchè tutte le soluzioni esistano su (− ∞, ∞). Se tutte esistono su (−∞, ∞), allora la corrispondente funzione di Liapunov si può poi usare per decidere circa l'esistenza e stabilità della soluzione nulla. Nel teorema 3 si presentano alcuni risultati analoghi a quelli del teorema 2 ma « nel futuro. »

References

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    T. Yoshizawa,Stability theory by Liapunov's second method, Math. Soc of Japan, Tokyo (1966).Google Scholar

Copyright information

© Nicola Zanichelli Editore 1967

Authors and Affiliations

  • Junji Kato
    • 1
  • Aaron Strauss
    • 2
  1. 1.Mathematical InstituteTôhoku UniversitySendaiJapan
  2. 2.Mathematics DepartmentUniversity of MarylandUSA

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