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Annali di Matematica Pura ed Applicata

, Volume 75, Issue 1, pp 231–260 | Cite as

Un teorema di unicità per sistemi di equazioni a derivate parziali quasi-lineari

  • Silvio Cinquini
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Oggetto principale della Memoria è un teorema di unicità (in senso generalizzato) per il problema di Cauchy relativo al sistema di equazioni a derivate parziali quasilineari del tipo
$$\begin{gathered} \mathop \sum \limits_{j = 1}^m c_{ij} (x,y_1 ,...,y_r ;z_1 ,...,z_m )\left[ {\frac{{\partial z_j }}{{\partial x}} + \mathop \sum \limits_{k = 1}^r f_{ik} (x,y_1 ,...,y_r ;z_1 ,...,z_m )\frac{{\partial z_j }}{{\partial y_k }}} \right] = \hfill \\ = g_i (x,y_1 ,...,y_r ;z_1 ,...,z_m ), (i = 1,...m) \hfill \\\end{gathered} $$
(II)
. Il nuovo teorema si differenzia da quelli anteriormente stabiliti da altro A. per il sistema(II), perchè è valido in un campo funzionale più ampio: ogni funzione zj=zj(x, y1, ..., yr), (j=1, ..., m) è continua nel-complesso delle variabili, è assolutamente continua come funzione della sola x per quasi tutte le r-ple (y1, ..., yr), e soddisfa a una disuguaglianza del tipo
$$\left| {z_j (x,y_1 ,...,y_r ) - z_j (x,\bar y_1 ,...,\bar y_r )} \right| \leqslant \mathop \sum \limits_{k = 1}^r \omega _{jk} (x)\left| {y_k - \bar y_k } \right|$$
per quasi tutti gli x e per tutte le coppie (y 1 , ..., yr),\((\bar y_1 ,...,\bar y_r )\). Anche le condizion iniziali sono più ampie, perchè definite da funzioni, per le quali è supposta la sola continuità.

Inoltre viene dato un nuovo esempio per illustrare il fatto, che il campo, nel quale due soluzioni, definite in uno strato, non coincidono, dipende da quello, nel quale sono distinti i loro valori iniziali.

Bibliografia

  1. (1).
    S. Cinquini,Sopra l’unicità della soluzione per sistemi di equazioni a derivate parziali del primo ordine, Rend. Istituto Lombardo di Scienze e Lettere, vol. 88 (1955), pp. 960–978. In particolare n. 5, pag. 969 e segg. Cfr. anche:M. Cinquini Cibrario eS. Cinquini,Equazioni a derivate parziali di tipo iperbolico, Monografie Matematiche del C.N.R. n. 12, Edizioni Cremonese, Roma, 1964, pp. VIII+552. In particolare Cap. IV, n. 6, pp. 320–334. Il sistema (I) viene chiamato «the Cinquini’s equation » in:S. Yosida,Hukuhara’s Problem for Partial Differential Equations, Funkcialaj Ekvacioj, vol. 8 (1965), pp. 5–37.zbMATHMathSciNetGoogle Scholar
  2. (2).
    È ben noto che sia in queste ricerche, sia in quelle citate in (3) (e così pure nel presente lavoro) si considerano sempre soluzioni in senso generalizzato, le quali, cioè, soddisfano al sistema di equazioni a derivate parziali soltanto per quasi tutti gli (x, y 1, ...,y r).Google Scholar
  3. (3).
    M. Cinquini Cibrario,Teoremi di unicità per sistemi di equazioni a derivate parziali in più variabili indipendenti, Annali di Matematica pura e applicata, vol. 48 (1959), pp. 103–134. Il teorema è accennato al n. 13,a), mentre nella Memoria stessa sono dimostrati altri teoremi di unicità (cfr. n. 2, teorema I, e n. 11, teorema V). Vedi anche:M. Cinquini Cibrario eS. Cinquini, opera cit. in (1), Cap. IV, n. 9, pp. 337–354.zbMATHGoogle Scholar
  4. (6).
    Per questa nozione vediM. Cinquini Cibrario eS. Cinquini, opera cit. in (1) Cap. VII, n. 6,b), pag. 498.Google Scholar
  5. (11).
    Cfr. Opera cit. in (1), nota (1) a piè di pag. 90Google Scholar
  6. (12).
    Cfr.S. Cinquini, luogo cit. in (1), n. 6, pag. 974.Google Scholar
  7. (13).
    Cfr. per esempio opera cit. in (1), Cap. IV, n. 9, α), pp. 341–345.Google Scholar
  8. (16).
    Cfr. per esempio,M. Cinquini Cibrarlo eS. Cinquini, opera cit. in (1), Cap. I, n. 18, nota piè di pag. 32; o ancheG. Sansone eR. Conti,Equazioni differenziali non lineari, Monografie Matematiche del C.N.R. n. 3, Edizioni Cremonese, Roma, 1956, pp. XX+648; in particolare Cap. I, § 1, n. 1, pp. 15–16.Google Scholar
  9. (17).
    Cfr.M. Cinquini Cibrario eS. Cinquini, opera cit. in (1), Cap. I, n. 31, nota a piè di pag, 90.Google Scholar
  10. (18).
    L’esempio del presente numero illustra pienamente l’osservazione che si trova inM. Cinquini Cibrario eS. Cinquini, opera cit. in (1), Cap. IV, n. 10,b).Google Scholar

Copyright information

© Nicola Zanichelli Editore 1967

Authors and Affiliations

  • Silvio Cinquini
    • 1
  1. 1.Pavia

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