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Teoremi di esistenza per sistemi di equazioni quasi lineari a derivate parziali in più variabili indipendenti

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Sunto

Sotto ampie ipotesi sono dimostrati un teorema di esistenza in un campo illimitato e un analogo teorema in un campo limitato, relativi alla soluzione del problema di Cauchy (in senso generalizzato) del sistema di equazioni quasi lineari a derivate parziali

$$\begin{gathered} \mathop \sum \limits_{j = 1}^m A_{ij} (x,y_1 ,...,y_r ;z_1 (...),...,z_m (...))\left\{ {\frac{{\partial z_j (x,y_1 ,...,y_r )}}{{\partial x}}} \right. + \hfill \\ + \mathop \sum \limits_{k = 1}^r \rho _{ik} (x,y_1 ,...,y_r ;z_1 (...),...,z_m (...))\left. {\frac{{\partial z_j (x,y_1 ,...,y_r )}}{{\partial y_k }}} \right\} = \hfill \\ = f_i (x,y_1 ,...,y_r ;z_1 (...),...,z_m (...)), (i = 1,...,m) \hfill \\\end{gathered} $$
((I))

. La soluzione è ricercata nel campo funzionale, costituito dalle m-ple di funzioni zi(x, y1, ..., yr), (i=1, ..., m), le quali nel proprio campo di definizione sono assolutamente contínue in x e lipschitziane nel complesso delle variabili (y1..., yr), e soddisfano il sistema (I) quasi ovunque.

Bibliografia

  1. (1)

    M. Cinquini Cibrario,Teoremi di unicità per sistemi di equazioni a derivate parziali in più variabili indipendenti, Annali di Mat., (IV) Vol. XLVIII (1959), pp. 103–134. Molti tra i risultati di tale Memoria sono esposti nel volumeM. Cinquini Cibrario eS. Cinquini,Equazioni a derivate paraziali di tipo iperbolico, « Monografie Matematiche del C.N.R. », N. 12, Ediz. Cremonese, Roma, 1964; Cap. IV, § 2, pp. 335–358. Tale volume sarà citato nel seguito con (Mn).

  2. (2)

    M. Cinquini Cibrario,Teoremi di esistenza per sistemi semilineari di equazioni a derivate parziali in più variabili indipendenti, Annali di Mat., (IV) Vol. LXVIII (1965), pp. 119–160.

  3. (3)

    Cfr. per esempio (Mn), § 2, n. 8, pp. 335–337.

  4. (5)

    Cfr. (Mn.), l. c. in (3).

  5. (6)

    Per quanto riguarda il teorema di esistenza cfr. l. c. in § 2, n 4, pp. 157–160; i teoremi di unicità e di dipendenza continua dai valori iniziali sono stati stabiliti, anche per il sistema quasi lineare (I), nella nostra Memoria citata in (1) (cfr. § 1, n. 4,Teorema II, pp. 119–120, e anche n. 5,a),b), pp. 120–121, § 2, n. 9,Teorema IV, pp. 126–127). Cfr. anche (Mn), Cap. IV, § 2, n 10a), pp. 354–355.

  6. (7)

    La dimostrazione data nel teorema di esistenza citato in (6) prova che le funzioni (9) sono di classeG in ogni campo limitato apparenente al campoD (0) ; tale proprietà è sufficiente ad assicurare l’unicità della soluzione nel campoD (0) .

  7. (7’)

    C. Carathéodory,Vorlesungen über reelle Funktionen, Teubner, Leipzig, 1918; cfr. Kap XI, pp. 665–688, e in particolare ivi n. 582, p. 672, n. 583, p. 674.

  8. (8)

    Cfr., per esempio, l. c. in § 1, n. 2a), pp. 127–128, form. (14), (14’), (15).

  9. (9)

    Cfr. l. c. in § 1, n. 2e), form. (46) e (47), pp. 136–137.

  10. (10)

    Cfr. l. c. in § 1, n. 2b), form. (24’), p. 130; nel caso presente è μ ij (x)=μ(x), (i, j=1, ...,m).

  11. (11)

    Si può prendere\(H_0 = H^{m - 1} (m - 1)^{\frac{{m - 1}}{2}}\), in virtù della nota disuguaglianza diHadamard (cfr. p. es. la dimostrazione dataL. Tonelli,Sul teorema di Hadamard relativo al valore maggiorante di un determinante, Giornale di Matematiche di Battaglini, Vol. XLVII, pp. 212–218).

  12. (12)

    Cfr. (Mn), Cap. IV, § 2, n. 9) δ), p. 353, nota

  13. (13)

    Cfr.G. Sansone, R. Conti,Equazioni differenziali non lineari, “ Monografie Matematiche del C.N.R. » N. 3, Ediz. Cremonese, Roma, 1956, Cap. I, § 2, n. 1, pp. 15–16. Si prova facilmente che, nel caso attuale e negli altri che si presentano nel corso del lavoro, tale estensione del Lemma diGronwall può essere applicata, senza preoccuparsi se la funzioneu(x), limitata, non negative e non decrescente in (0,a 0), sia o no continua.

  14. (14)

    Si intende che se, per un valore dik, (con 1≤kr) è\(y_k = \bar y_k\), risulta\(b_k = b_k ^{(1)} = y_k = \bar y_k\).

  15. (15)

    Cf. per esempio l. c. in § 1, n. 2a), form. (14), p. 127.

  16. (16)

    Cfr. l. c. in (12).

  17. (16’)

    Per quanto riguarda l’unicità della soluzione cfr. anche (Mn), Cap. IV, § 2, n. 10a), pp. 354–355, e la Memoria citata in, § 1, n. 4, Teorema 11, pp. 119–120, e anche § 1. n. 2, Teorema I, pp. 106–118.

  18. (17)

    Il numeroa viene determinato nel corso della dimostrazione; cfr. capoversic), form. (77), ed), form. (90).

  19. (20)

    Cfr. § 1, n. 2,b), form. (14), nelle quali si tenga conto delle (83) e del fatto che, invece del sistema (II), le funzioni (80) soddisfano il sistema (81).

  20. (21)

    Cfr. § 1, n. 2b), form. (11).

  21. (22)

    Cfr. l. c. a nota

  22. (23)

    Cfr. le (86), e anche le (71), (93’), (100).

  23. (24)

    Cfr. § 1, n. 2b) form. (14), tenendo conto delle (101) e (102).

  24. (25)

    Cfr. anche § 1, n. 2b), sistema (11).

  25. (26)

    Cfr. l. c. in nota

  26. (27)

    Cfr. la Memoria citata in § 1, n. 4, Teorema II, pp. 119–120 e anche n. 5,a),b), pp. 120–121, e § 2, n. 9, Teorema IV, pp. 126–127. Cfr. anche (Mn), Cap. IV, § 2, n. 10a), pp. 354–355.

  27. (29)

    Cfr. (Mn), Cap. IV, § 2, n. 9, pp. 337–354, e n. 11, pp. 356–358.

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Cibrario, M.C. Teoremi di esistenza per sistemi di equazioni quasi lineari a derivate parziali in più variabili indipendenti. Annali di Matematica 75, 1–46 (1967) doi:10.1007/BF02416798

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