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Sulla teoria astratta della misura e dell'integrazione

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La teoria della misura e dell'integrazione quale si presenta ammettendo soltanto l'additività in senso flnito.

References

  1. (1)

    B. de Finetti,Sull'impostazione assiomatica del calcolo delle probabilità, « Annali Univ. Trieste », Vol. XIX, S. II, 1949.

  2. (2)

    B. de Finetti,Une façon d'introduire la notion de mesure, etc., « Atti Congr. Int. Matematici », Amsterdam 1954, Vol. II, p. 289.

  3. (6)

    L. H. Loomis,Abstract Harmonic Analysis, van Nostrand ed., N. Y., 1953. La trattazione delLoomis, a prescindere da tale coincidenza formale, corrisponde tuttavia all'impostazione abituale e non a quella qui sviluppata, perchè il suo assioma (4) (pag. 29; cfr. nota (12) più avanti) equivale all'additività completa.

  4. (9)

    Cfr. p. es. op. cit. (6), p. 20, oppure op. cit. (1).

  5. (14)

    Cfr. p. es. il volumetto diE. Borel,Les Paradoxes de l'Infini, Gallimard ed., Paris 1946, dove la questione è messa in relazione con discussioni sull'assioma della scelta e su interpretazioni probabilistiche (vi ha rispostoP. Levy inLes paradoxes de l'infini et le calcul des probabilités, « Bull. Sci. Math. », II S., 73, 186–195, (1949), con argomentazioni con le quali concordo). — La dimostrazione si riferisce alla sfera: non mi consta che sia stato dimostrato che essa vale per ogni gruppo doppiamente infinito; ma ciò sembra ovvio.

  6. (12)

    La condizione assunta come assioma dalLoomis (cfr. nota (6)) consiste nell'affermare che μ(f n ) → 0 sef n (x), per ognix, tende a zero decrescendo al crescere din. La condizione è ovviamente equivalente alla forma qui usata: se infattif n → 0 decrescendo, lef n sono ugualmente limitate; se, viceversa, lef n sono ugualmente limitate, ed èf n (x) → 0, seclto ɛ > 0, si pongag n (x) =M (estremo sup. delle |f n (x)|) se per qualchemn si ha |f m (x)|>ɛ, eg n (x)=ɛ se invece per ognimn si ha |f m (x)|≤ɛ. Leg n maggiorano le |f n | e tendono a ɛ decrescendo; ecc.

  7. (13)

    Cfr.S. Ulam,Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre, « Fund. Math. », T. XVI, 1930.

  8. (14)

    N. Bourbaki,Les structures fondamentales de l'analyse (Livre III diTopologie Générale), Fasc. 858, « Act. Sci. Ind. », Hermann, Paris 1940, pag. 20 e segg.

  9. (15)

    Cfr. p. es. inThéorie de l'addition des variables aléatoires, Gauthier-Villars, Paris, 1937, II ediz. 1954, il Cap. II,Lois de probabilité et partitions.

  10. (16)

    Cfr. p. es.J. L. Doob,Stochastic Processes. Wiley & S., N. Y., 1953, eA. Blanc-Lapierre eR. Fortet,Fonctions aléatoires, Masson, Paris, 1953.

  11. (17)

    Cfr. le opp. citt. (16), la « Note II » in op. cit. (15) (II ed, p. 359),P. Lévy,Random Functions: General Theory with special reference to Laplacian Random Functions, « Univ. Calif. Press. », 1953;S. Kakutani,Notes on Infinite Product Measure Spaces, I e II, « Proc. Imp. Acad. Tokyo », 1943.

  12. (18)

    Nell'accezione adottata p. es. in op. cit. (6), p. 3.

  13. (19)

    Per tali argomenti, e per la teoria della misura e dell'integrazione in genere, si veda ad es., oltre all'op. cit. (6),M. Picone eT. Viola,Lezioni sulla teoria moderna dell'integrazione, Einaudi, 1952,G. Fichera,Lezioni sulle trasformazioni lineari, Vol. I, Un. Trieste, 1954,P. Halmos,Measure Theory, van Nostrand, N. Y., 1950.

  14. (20)

    La struttura delle distribuzioni in un insieme astratto qualsiasi, « Giorn. Ist. It. Attuari », 1955.

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A Mauro Picone nel suo 70mo compleanno.

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de Finetti, B. Sulla teoria astratta della misura e dell'integrazione. Annali di Matematica 40, 307–319 (1955) doi:10.1007/BF02416540

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