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Sull'andamento delle funzioni maggioranti delle serie di potenze

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Si considerano le serie di potenze f(z) = ∑a n zn convergenti (almeno) per | z |<1 e si studia l'andamento della funzione maggiorante ∑ | an | ru, ponendolo in relazione con quello della media quadratica del modulo { ∑ | an |2r2n}1/2 (che in ogni caso è minore del massimo modulo\(_{|z;^{< _r } }^{Max|f(z)|)} \). Si stabiliscono le « migliori costanti » soltanto per qualcuno dei quesiti. Alla fine si esamina il caso in cui {∑ | an |2r2n} è convergente con ipotesi che tengono conto delle funzioni « lentamente oscillanti ».

References

  1. (1)

    G. H. Hardy,A theorem concerning Taylor's series, « Quarterly Journ. of Math. »,44, 147–160 (1912–13): in particolare pp. 147–150. Alcune osservazioni sul legame fra il comportamento diM 2(f;r) e quello di 286-1(f;r) si trovano anche inJ. E. Littlewood,A theorem on power series, « Proc of the London Math. Soc. »,23, 94–103 (1923), in particolare pp. 94–95.

  2. (5)

    Questa classe di funzioni e classi analoghe sono ben note nell'Analisi: per le proprietà che qui ricorderemo vedereG. H. Hardy eW. W. Rogosinski,Notes on Fourier series (III): Asymptotic Formulae for the sums of certain trigonometrical series, « Quarterly Journal of Math., Oxford S. »,16, 49–58 (1945).

  3. (6)

    Vedi loc. cit. in (4), pp. 52–55.

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A Mauro Picone nel suo 70mo compleanno.

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Ricci, G. Sull'andamento delle funzioni maggioranti delle serie di potenze. Annali di Matematica 40, 285–306 (1955). https://doi.org/10.1007/BF02416539

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