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Su un metodo del Picone per il calcolo degli autovalori e delle autosoluzioni

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Viene studiato un metodo dovuto aM. Piconeed, in conseguenza, formulata una teoria per il calcolo degli autovalori e delle autosoluzioni relativamente ad una classe di trasformazioni lineari non hermitiane.

References

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  6. (6)

    A. Ghizzetti,Su un metodo di Picone per il calcolo degli autovalori e delle autofunzioni e su un'applicazione all'equazione di Schrödinger, Atti del Congresso di Meccanica teorica e applicata, Istambul, 1952.

  7. (7)

    Le locuzioni ed i concetti di analisi astratta usati in questo lavoro sono conformi a quelli usati nel testo:G Fichera,Lezioni sulle trasformazioni lineari, Vol. I, Introduzione all'Analisi lineare, Istit. Mat. Univ, Trieste, 1954. Tale volume sarà citato in seguito con la sola sigla T.L.

  8. (8)

    Nella formulazione del metodo, data nei lavori citati in (3), (5), e (6), non si considerano, soltanto, i punti di minimo della μ n (λ) come approssimazioni degli autovalori di (1), ma tutti i punti di minimo di ogni funzione di λ che sia un antovalore per la forma quadratica nellec k :\(||\sum\limits_{k = 1}^n {c_k } (E(u_k ) - \lambda u_k )|_i ^2 \), relativo alla normalizzazione\(||\sum\limits_{k = 1}^n {c_k } u_k |_i ^2 = 1\). Vedremo che basta limitarsi a considerare solo il più basso di tali autovalori, cioè μ n (λ) ed anzi i punti di minimo di tale funzione vanno opportunamente discriminati, onde dedurre da essi quelli che effettivamente possono riguardarsi come approssimazioni di autovalori della (1).

  9. (11)

    Precisamente, dato un insieme chiuso e limitato Γ del pinao, considereremo come suointorno la totalità degli insiemi Γ' chiusi e limitati del piano, ciascuno dei quali verifica le condizioni:\(I_\varepsilon \Gamma \supset \Gamma ',I_\varepsilon \Gamma ' \supset \Gamma ;\) conI ɛΓ si è indicato l'involucro di raggio ɛ di Γ, cioè la totalità dei punti del piano la cni distanza da Γ è minore di ɛ. Con tale definizione di intorno la totalità degli insiemi chiusi e limitati del piano può considerarsi come uno spazio topologico diHausdorff. D'altronde è noto che lo spazio degli insiemi chiusi e limitati di un dato spazio enclideo può anche metricizzarsi (cfr.T. Viola,Criteri di compattezza per aggregati di insiemi elementari di uno spazio euclideo [Rend. Acc. Naz. Lincei, 1950] e Bibliografia ivi citata). Tuttavia tali nozioni, topologiche e metriche, non saranno impiegate nel presente lavoro, dove ci si limiterà a considerare le due relazioni (*) e, solo, per insiemi costituiti da un numero finito di punti.

  10. (12)

    Cfr. T.L., cap. V.

  11. (13)

    Cfr. T. L., p. 213.

  12. (14)

    Cfr. T. L., p. 192.

  13. (16)

    Cfr. T.L., p. 231, teor. XLIV.

  14. (18)

    Cfr. T.L., p. 227.

  15. (19)

    Tale andamen to per la curva che rappresenta μ(λ) era stato previsto daT. Viola (cfr. loc. cit. (3)), per non introducendo Egli esplicitamente le μ n (λ) e la μ(λ), ma svolgendo altro ordine di considerazioni.

  16. (21)

    Cfr. la nota (20).

  17. (22)

    Cfr. T.L., p. 223.

  18. (23)

    Cfr. T.L., pag. 227.

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A Mauro Picone nel suo 70mo compleanno.

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Fichera, G. Su un metodo del Picone per il calcolo degli autovalori e delle autosoluzioni. Annali di Matematica 40, 239–259 (1955). https://doi.org/10.1007/BF02416536

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