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Sulla nozione di sistema differenziale aggiunto per i problemi ai limiti lineari in più variabili

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Per un sistema differenziale, costituito da una o più equazioni alle derivate parziali e da un certo sistema di condizioni ai limiti, si può stabilire la nozione di sistema differenziale aggiunto. Qui viene studiata tale nozione per certe classi di sistemi differenziali, in cui rientra come caso particolare un problema ai limiti per le funzioni iperarmoniche considerato daM. Picone.

References

  1. (1)

    R. Caccioppoli,Sui teoremi d'esistenza di Riemann, « Rend. Acc. Sci. Fis. Mat. di Napoli », s. IV, vol. IV, 1934, pp. 49–54; « Ann. Sc. Norm. Sup. di Pisa », s. II, vol. VII, 1938, pp. 177–188

  2. (2)

    S. Sobolev,Su un problema ai limiti per le equazioni poliarmoniche (in russo), « Rec. Math. Moscou », t. 44, 1937, pp. 465–499; lavoro riassunto anche in tre note preventive in francese pubblicate nel 1936 nei « C. R. Acad. Sci. de l'U.RS.S. ».

  3. (3)a)

    G. Cimmino,Sulle equazioni lineari alle derivate parziali del secondo ordine di tipo ellittico sopra una superficie chiusa, « Ann. Sc. Norm. Sup. di Pisa », s. II, vol. VII, 1938, pp. 73–96;

  4. (3)b)

    Nuovo tipo di condizione al contorno e nuovo metodo di trattazione per il problema generalizzato di Dirichlet, « Rend. Circ. Mat. di Palermo », t. LXI, 1937, pp. 177–221.

  5. (4)

    B. Pini,Sul problema di Dirichlet per le equazioni a derivate parziali del secondo ordine di tipo ellittico, « Rend. Acc. Naz. dei Lincei », s. VIII, vol. XI, 1951, pp. 325–333;Sulle equazioni a derivate parziali lineari del secondo ordine in due variabili, di tipo parabolico, « Ann. Mat. p. e appl. », s. IV, t. XXXII, 1951, pp. 179–204;Un problema di valori al contorno, generalizzato, per l'equazione a derivate parziali lineare parabolica del secondo ordine, « Riv. Mat. Univ. di Parma », vol. 3, 1952, pp. 153–187;Sul primo problema di valori al contorno della teoria dell'elasticità, « Rend. Sem. Mat. Univ. di Padova », vol. XXI, 1952, pp. 345–369;Sulle equazioni lineari a derivate parziali d'ordine 2n di tipo ellittico e sui sistemi ellittici di equazioni lineari del secondo ordine sopra una superficie chiusa, « Rend. di Mat. e delle sue appl. », s. V, vol. XI, 1952, pp. 176–195;Sui sistemi di equazioni lineari a derivate parziali dei tipi ellittico e parabolico, « Rend. Sem. Mat. Univ. di Padova », vol. XXII, 1953, pp. 265–280;Osservazioni sulle soluzioni dei sistemi di equazioni a derivate parziali lineari di tipo ellittico, ibidem, vol. XXII, 1953, pp. 366–379.

  6. (5)

    Questo importante gruppo di ricerche si è iniziato col lavoro diH. Weyl,The method of orthogonal projection in potential theory, « Duke Math. Journ. », vol. 7, 1940, pp. 410–444, nel quale, col lemma di p. 415, viene ritrovata, nel caso del laplaciano in due variabili, la proposizione del tipo qui considerato, già resa nota nel 1934 daR. Caccioppoli (loc. cit. in (1)) e nel 1936, per il caso del laplaciano iterato in quante si vogliano variabili, daS. Sobolev (loc. cit. in (2)). Per la bibliografia, che è assai estesa, rinvio alla recente memoria diK. O. Friedrichs,On the differentiability of the solutions of linear elliptic differential equations, « Comm. on p. and appl. Math. », vol. VI, 1953, pp. 299–325.

  7. (6)

    L. Amerio,Sull'integrazione dell'equazione Δ 2k u=f, « Ann. Mat. p. e appl. », s. IV, t. XXIV, 1945, pp. 119–138;Sul calcolo delle soluzioni dei problemi al contorno per le equazioni lineari del 2° ordine, di tipo ellittico, « Amer. Journ. of Math. », t. 69, 1947, pp. 447–489; lavoro riassunto anche negli « Acta, Pontificia Academia Scientiarum » del 1946.

  8. (7)

    G. Sansone,Equazioni differenziali nel campo reale, Zanichelli, Bologna, 1941, vol. I, p. 250 e segg.

  9. (8)a)

    G. Fichera,Sull'approssimazione delle funzioni armoniche in tre variabili mediante successioni di particolari funzioni armoniche, « Rend. Acc. Naz. dei Lincei », s. VIII, vol. III, 1947, pp. 508–511;

  10. (8)b)

    Teoremi di completezza sulla frontiera di un dominio per taluni sistemi di funzioni, « Ann. Mat. p. e appl. », s. IV, t. XXVII, 1948, pp. 1–28;

  11. (8)c)

    Teoremi di completezza connessi all'integrazione dell'equazione Δ 4 u=f, « Giorn. di Mat. Battaglini », vol. LXXVII, 1948, pp. 184–199.C. Miranda,Sull'approssimazione delle funzioni armoniche in tre variabili, « Rend. Acc. Naz. dei Lincei », s. VIII, vol. IV, 1948, pp. 530–533.

  12. (9)

    M. Ghermanesco,Sur les fonctions n-métaharmoniques, « C. R. de l'Acad. des Sci. », t. 193, 1931, pp. 107–109, 477–479;Sur les solutions fondamentales de l'équation n-métaharmonique, ibidem, pp. 638–640;Sur les moyennes successives d'une fonction n-métaharmonique, ibidem, pp. 918–919;Sur les fonctions n-métaharmoniques de p variables, « Rend. Acc. Naz. dei Lincei », s. VI, vol. XIV, 1931, pp. 252–259, 415–421.J. P. Robert,Sur les formules généralisées de médiation et les équations intégrales singulières correspondantes, « Ann. Fac. Sci. Univ. de Toulouse », s. III, t. 24, 1932, pp. 129–190.

  13. (10)

    M. Picone,Sulla convergenza delle successioni di funzioni iperarmoniche, « Bull. Math. Soc. Roum. des Sci. », t. XXXVIII, 1936, pp. 105–112.

  14. (11)

    M. Picone,Nuovi indirizzi di ricerca nella teoria e nel calcolo delle soluzioni di talune equazioni lineari alle derivate parziali della Fisica-matematica, « Ann. Sc. Norm. Sup. di Pisa », s. II, vol. V, 1936, pp. 213–288.

  15. (12)

    Loc. cit. in (3), b), p. 194.

  16. (13)

    La proprietà di media qui ottenuta, nel caso particolare dell'equazione autoaggiunta del quarto ordine, è stata dedotta con precedimento simile a quello del testo daG. Zwirner,Su una particolare classe di equazioni alle derivate parziali del 4° ordine sopra una superficie chiusa, « Rend. Sem. Mat. Un. di Padova », vol. XVII, 1948, pp. 139–159 Per le funzioni iperarmoniche, estensioni del teorema della media diGauss si trovano anche inM. Nicolesco,Les fonctions polyharmoniques, « Ann. Éc. Norm. Sup. », t. 52, 1935. pp. 183–220; cfr. anche i lavori diM. Picone citati in (10) e (11).

  17. (14)

    G. C. Evans andE. R. C. Miles,Potential of general masses in single and double layers. The relative boundary values problems, « Amer. Journ. of Math. », vol. 53, 1931, pp. 493–516;G. Fichera, loc. cit. in (8);L. Lichtenstein,Über das Poissonsche Integral und über die partiellen Ableitungen ziveiter Ordnung des logarithmischen Potentials, « Journ. f. reine u. ang. Math. », Bd. 141, 1912, pp. 12–42.

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A Mauro Picone nel suo 70mo compleanno.

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Cimmino, G. Sulla nozione di sistema differenziale aggiunto per i problemi ai limiti lineari in più variabili. Annali di Matematica 40, 223–238 (1955). https://doi.org/10.1007/BF02416535

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