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Problemi al contorno misti per equazioni del calcolo delle variazioni

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Si considerano problemi di mimmo per funzionali che conducono a risolvere problemi diNeúmann e di tipo misto per le relative equazioni diEulero.

References

  1. (1)

    Sistemi di equazioni di tipo ellittico a derivate parziali del primo ordine e proprietà delle estremanti degli integrali multipli, Ricerche di Matematica, vol. I, pp. 200–226, p. 220.

  2. (2)

    La ricerca ha quindi interesse oltre che ai fini del calcolo delle variazioni, anche ai fini della teoria delle equazioni a derivate parziali del secondo ordine di tipo ellittico non lineari; pochi sono infatti i risultati noti relativi ai problemi misti per queste equazioni, cfr.G. Giraud,Sur certains problèmes non linéaires de Neumann et sur certains problèmes non linéaires mixtes, « Ann. Scient. Ecole Norm. Sup. », t. 49 (1932), pp. 1–105, 245–308. Questi risultati relativamente al caso lineare sono stati estesi daG. Fichera,Analisi esistenziale per le soluzioni dei problemi al contorno misti relativi all'equazioni e ai sistemi di equazioni del secondo ordine di tipo ellittico, « Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa », s. III, vol. I (1949), pp. 75–100, quando l'equazione è autoaggiunta e in generale daE. Magenes,Sui problemi al contorno misti per le equazioni lineari del secondo ordine di tipo ellittico, ibidem, s. III, vol. VIII, pp. 93–120; entrambi questi Autori hanno eliminato l'ipotesi restrittiva diGiraud relativamente alle porzioni della frontiera dove sono assegnati i due tipi di condizioni al contorno. Nello stesso ordine di idee sono i risultati relativi al caso non lineare considerato in questo lavoro. Risultati relativi ad equazioni non lineari sono stati annunciati allo stesso Congresso di Amsterdam daL. Bers eL. Nirenberg, ma essi si riferiscono ad equazioni in due variabili. Per una bibliografia sull'argomento rimando a:G. Ascoli, P. Burgatti eG. Giraud,Equazioni alle derivate parziali dei tipi ellittico e parabolico, Sansoni, Firenze (1936) ed aC. Miranda,Equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico, Springer (1955).

  3. (3)

    Sopra una classe di funzioni in n variabili, Ricerche di Matematica, t. I (1952), pp. 27–54. Questo lavoro sarà indicato nel seguito con [C].

  4. (4)

    Problemi variazionali per gli integrali multipli in forma non parametrica, « Rendiconti del Seminario Matem. Torino », vol. 13 (1953–54), pp. 19–29.

  5. (5)

    Problema di Dirichlet e proprietà qualitative della soluzione, « Giornale di Matem. di Battaglini », s. IV, vol. 80 (1950–52), pp. 226–237 eProblemi al contorno per equazioni di tipo ellittico a derivate parziali e questioni di calcolo delle variazioni connesse, « Ann. di Matem. », s. IV, t. 33 (1952), pp 211–238, in particolare § 2, p. 220.

  6. (7)

    Loc. cit. in (1).

  7. (8)

    Cfr.R. Courant,Methods of Mathematical Physics, vol. I, p. 208 (1953).

  8. (9)

    R. Courant,Methoden der Mathematischen Physik, vol. II (1937), p. 508.

  9. (10)

    L. Amerio,Sul calcolo delle soluzioni dei problemi al contorno per le equazioni lineari del secondo ordine di tipo ellittico, « Amer. Journ. of Math. », vol. LXIX (1947), pp. 447–489.

  10. (11)

    Per quasi tutte le (n − 1)-ple di variabili rimanenti. Per le dimostrazioni di quanto affermato in questo n. 1 a proposito delle funzioni della classe Aα cfr. [C] cit. in (3).

  11. (12)

    La dimostrazione della misurabilità delle derivate parziali prime in conseguenza della condizione i) si trova inM. Pezzana,Sulla differenziabilità delle funzioni di più variabili reali, « Rend. Semin. Mat. di Padova », vol. XXIII (1954), pp. 290–309, p. 302.

  12. (13)

    [C]; 1-I, p. 30.

  13. (14)

    [C]: 2-II, p. 35.

  14. (15)

    Ciò discende dal teorema di [C]: 2-V, p. 37.

  15. (16)

    [C]; 6-III, p. 53 e 2-IV, p. 38.

  16. (17)

    Questo risultato si deduce immediatamente dal teorema 4-IV di [C], p. 47.

  17. (18)

    [C], p. 49.

  18. (19)

    Sotto questo aspetto si rileva un legame molto stretto fra le funzioni della classe A2 e quella considerata daR. Courant, cfr. loc. cit. in (9) ed anche loc. cit. in (4); p. 21.

  19. (20)

    Loc. cit. in (5).

  20. (23)

    La dimostrazione di questo teorema è analoga a quella — pern=2 — contenuta in:Sopra una classe di funzioni in due variabili, applicazioni agli integrali doppi del calcolo delle variazioni, « Giornale di Matem. di Battaglini », vol. 79, pp. 169–208, Teor. 11-II, p. 201 che ricalca a sua volta una dimostrazione diL. Tonelli,Sur la semi-continuité des integrales doubles du calcul des variations. « Acta Mathematica », t. LIII, pp. 323–346, n. 8, p. 335 (1929).

  21. (24)

    Anche questo risultato si dimostra in modo analogo a quello — pern=2 — contenuto in loc. cit. in (23) 11-III poggiando sul lemma 11-I nel caso di α > 0. Colgo l'occasione per osservare che tale lemma non vale, come ivi enunciato, nel caso α=0. Ma a questo caso non ci si riduce quando — come interessa in seguito — si suppone che per le funzioni valga la (2) per α > 0 di p. 175.

  22. (25)

    Loc. cit. in (5), teor. II, p. 217.

  23. (26)

    [C]; 4-I, p. 44.

  24. (27)

    Cfr. loc. cit. in (9), p. 516.

  25. (28)

    Teoremi di esistenza del minimo assoluto per gli integrali doppi con la funzione integranda soddisfacente ad una condizione del tipo (7) sono stati considerati daS. Cinquini,Sopra l'estremo assoluto degli integrali doppi in forma ordinaria, « Annali di Matem. », s. IV, t. 30, pp. 247–260 (1949).

  26. (29)

    Loc. cit. in (1), § 3.

  27. (30)

    Loc. cit. in (9).

  28. (31)

    C. B. Morrey,Multiple integral problems in the calculus of variations and related topics, « University of California publications in Mathem. », vol. I (1943), cap. IV eFriedrichs,A theorem of Lichtenstein, « Duke Math. Journ. », vol. 14 (4947), [pp. 67–82;C. Miranda, loc. cit. in (2).

  29. (32)

    Per considerazioni analoghe a queste cfr.C. Miranda,Sull'integrazione delle forme differenziali esterne in n variabili di grado n — 1e sul lemma di Haar per gli integrali multipli, « Atti Accad. Sc. Torino », vol. 85 (1950–51).

  30. (34)

    Per considerazioni analoghe a quelle svolte in questo n. cfr.G. Fichera, loc. cit. in (2) eL. Amerio, loc. cit. in (10).

  31. (35)

    Cfr.L. Amerio, loc. cit. in (10), p. 478 e segg.

  32. (36)

    Loc. cit. in (10), p. 469. La dimostrazione di questo A. presuppone che la densità del potenziale di volume sin hölderiana, ma poggiando sui risultati recenti relativi a potenziali con densità di quadrato sommabile è possibile estendere il teorema quando la densità in questione è soltanto di quadrato sommabile.

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A Mauro Picone nel suo 70mo compleanno.

A lcuni risultati di questa Memoria sono stati oggetto di una communicazione al Congresso Internazionale di Amsterdam (1–9 settembre 1954).

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Stampacchia, G. Problemi al contorno misti per equazioni del calcolo delle variazioni. Annali di Matematica 40, 193–209 (1955) doi:10.1007/BF02416533

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