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Sopra un principio di trasformazione integrale dei problemi differenziali ed alcune sue applicazioni

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Sviluppando ampiamente un'idea diWhittaker, si studiano trasformazioni del tipo\(y(u) = \int\limits_b^a {K(t,u)x(t)dt} \) che mutano le soluzioni di una equazione differenziale lineareL tx+λM tx=0, appartenenti ad una classe lineare (G), opportunamente precisata, in soluzioni di una seconda equazione differenzialeP uy+λQ uy=0, appartenenti ad un'altra classe lineare (Γ). Il primo problema si suppone autoaggiunto. Il nucleo K è una soluzione dell'equazione (L t Q uM t P u)K=0, di classe (G) come funzione di t, di classe (Γ) come funzione di u. Il procedimento permette di stabilire proprietà integrali in base a sole verifiche qualitative; ne vengono fatte applicazioni alle funzioni diMathieue diBessele ai polinomi diLegendree diHermite.

References

  1. (1)

    E. T. Whittaker,On the functions associated with the elliptic cylinder in harmonic analysis, Proceed. Int. Congr. of Mathem. (Cambridge, 1912, Per altre esposizioni v.Whittaker andWatson,A course of modern Analysis, Amer. Ed. (1943), n. 407;G. Sansone,Equazioni differenziali nel campo reale, 2a ed., vol. 1°, p. 331–337.

  2. (2)

    G. Ascoli,Sopra un'estensione dell'equazione integrale di Whittaker per le funzioni di Mathieu, « Rend. Istit. Lomb. », 79, 145–50 (1946).

  3. (3)

    Vi è qualche punto di contatto tra la presente ricerca e un antico e notevole lavoro diVera Myller Lebedeff,Die Theorie der Integralgleichungen in Annendung auf einige Reihenentwicklungen, « Math. Annalen », 64, 388–415 (1907), ispirata alla teoria delle equazioni integrali e a quella della equazione del calore; i due indirizzi possono portare a qualche coincidenza di risultati (cfr. il nostro II,d)), ma la loro indipendenza concettuale mi sembra fuori discussione.

  4. (6)

    V. il citatoWhittaker andWatson, pag. 408 e pag. 409, es. 1 e 2.

  5. (7)

    V. Whittaker andWatson, pag. 426, es. 2.

  6. (8)

    Cfr., per esempio,Vitali eSansone,Moderna teoria delle funzioni di variabile reale, 2a ed., (Bologna, 1946), parte II, § 14.

  7. (9)

    L. c. nota (3), pag. 396, (9). Peru=0, inG. Doetsch,Integraleigenschaften der Hermiteschen Polynome, « Math. Zeitschr. », 587—599 (190), pag. 594, (A).

  8. (10)

    Cfr.Vitali eSansone, op. cit. nota (6), p. 318.

  9. (11)

    Nel grande trattato diWatson,Bessel Functions, 2a ed. (1952) non he ritrovato la (5,e), la quale però può dedursi da una formula diSonine data a pag. 434 (2), la cui dimostrazione non è semplice, facendovi v=0, μ=−1/2 e sostituendo laK ν−μ che vi appare con la forma elementare che in questo caso le compete. In altro modo vi si può giungere partendo dalla nota trasformata diLaplace \(\int\limits_0^\infty {e^{ - pt} J_0 (t)dt = (1 + p^2 )^{ - 1/2} } \) facendovit=uσ,p=1/u, ciò che dà:\(\int\limits_0^\infty {e^{ - \sigma } J_0 (u\sigma )d\sigma = (1 + u^2 )^{ - 1,2} } \) e applicando a questa una formula di inversione diNeumann (cfr.Watson, l. c., pag. 453, (2)).

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A Mauro Picone nel suo 70mo compleanno.

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Ascoli, G. Sopra un principio di trasformazione integrale dei problemi differenziali ed alcune sue applicazioni. Annali di Matematica 40, 167–182 (1955). https://doi.org/10.1007/BF02416531

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