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Annali di Matematica Pura ed Applicata

, Volume 74, Issue 1, pp 345–381 | Cite as

Sopra l'esistenza dell'estremo assoluto per una classe di integrali curvilinei dello spazio in forma parametrica

  • Natalia Berruti Onesti
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Sunto

Nel presente lavoro, riprendendo in esame gli integrali curvilinei dello spazio
$$\int\limits_C {F\left( {x,y,z;x',y',z'} \right)ds} $$
(I)
già considerati in precedenti ricerche dell'A., si dimostrano alcuni teoremi di esistenza del minimo (assoluto) per gli integrali(I). A tali teoremi vengono premesse alcune considerazioni fondamentali riguardanti gli zeri della funzione F in relazione agli integrali\(\mathfrak{J}_C \). Alcuni dei risultati ottenuti vengono illustrati con esempi.

Bibliographie

  1. (1).
    N. Berruti Onesti,A proposito di una classificazione di integrali curvilinei dello spazio nel Calcolo delle Variazioni, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, T. X, (1961), pp. 233–261.Google Scholar
  2. (2).
    Per le altre ipotesi sopra la funzioneF, cfr. il n. 1,a). Rileviamo che nel presente lavoro ci riferiamo alle ipotesi della Memoria citata in (1), non ponendoci, pertanto, nelle condizioni formulate da altri Autori: cfr., per esempio, il lavoro (citato da altri Autori, e del quale finora non abbiamo potuto prendere visione)L. H. Turner,The direct methods in the calculus of variations, Ph. D. dissertation, Purdue University, Lafayette, Indiana, 1957. D'altra parte alcune proprietà rilevate nel presente lavoro non sussistono nel caso in cui la funzioneF non ammette finite le derivate parziali del primo ordine rispetto ax′, y′, z′ (cfr. l'Osservazione del n. 3).Google Scholar
  3. (3).
    L. Tonelli,Fondamenti di Calcolo delle Variazioni, Due Volumi (N. Zanichelli, Bologna, 1921–23). Cfr. Vol. I, Cap. V, § 2, n. 81, pag 224.Google Scholar
  4. (4).
    Per quanto riguarda il modo in cui sono definite le funzioniE edF 1 relative agli integrali (I), cfr. rispettivamente la (1) e la (4) del n. 1,a) del presente lavoro.Google Scholar
  5. (5).
    Cfr. il n. 13 del lavoro citato in (1).Google Scholar
  6. (6).
    N. Berruti Onesti,Ancora sopra una classificazione di integrali curvilinei del Calcolo delle Variazioni, Rend. dell'Istituto Lombardo, Acc. di Scienze e Lettere, Vol. 99, (1965), pp. 457–485.zbMATHGoogle Scholar
  7. (7).
    Cfr. il n. 2 del § 1 del presente lavoro.Google Scholar
  8. (8).
    Cfr. la (39) e la (60).Google Scholar
  9. (9).
    Tali condizioni vengono indicate nel n. 3,a) eb), e ricordate nel n. 4,a). A questo proposito cfr. anche la (19).Google Scholar
  10. (10).
    Cfr.L. Tonelli, Opera citata in (3), Vol. I, Cap. VI, n. 86,a), p. 240.Google Scholar
  11. (11).
    Cfr.L. Tonelli, Opera citata in (3), Vol. II, Cap. I, nn. 12–14, pp. 29–40.Google Scholar
  12. (12).
    Cfr., per es.,L. Tonelli,Sull'esistenza del minimo in problemi di Calcolo delle Variazioni, Annali della R. Scuola Norm. Sup. di Pisa, I, (1932), pp. 89–99; eSulle estremali complete, Annali della R. Scuola Norm. Sup. di Pisa, V, (1936), pp. 159–168. Cfr. anche Opera citata in (3), Vol. II, n. 26, p. 78.Google Scholar
  13. (12').
    Cfr., per es.,L. Tonelli, Opera citata in (3), Vol. II, Cap. I, nn. 15–22 e n. 24; eA. Del Chiaro,Sull'esistenza del minimo in problemi di Calcolo delle Variazioni, Annali della R. Scuola Norm. Sup. di Pisa, III, (1934), pp. 63–83.Google Scholar
  14. (13).
    Ci limitiamo a ricordare soltanto alcune definizioni, mentre per altre generalità rimandiamo al § 1 del lavoro citato in (1).Google Scholar
  15. (18).
    Per verificare che dalle (6) segnono le (7), basta tenere conto di quanto viene rilevato nel lavoro citato in (1) (cfr. § 2, n. 5, pag. 242); oppure, più direttamente, basta osservare che, sotto la sola ipotesi che\(\mathfrak{J}_C \) siaquasi-regolare positivo, essendo, per qualunque terna normalizzata (x′, y′, z′),Open image in new window e anche, poichè valgono le (5),Open image in new window si ha, tenendo conto delle (6),Open image in new window da cui, tenendo presente la (2), seguono le (7).Google Scholar
  16. (33).
    Cfr. § 3, n. 10,a) e § 2, n. 6.Google Scholar
  17. (39).
    Alla ipotesi che\(\mathfrak{J}_C \) siaseminormale può essere sostituita la condizione che, in corrispondenza a ognizero (x 0,y 0,z 0) dellaF, esista almeno una terna normalizzata (x 0',y 0',z 0') tale che per tutte le terne normalizzate (x′, y′, z′) distinte da (x 0′,y 0′,z 0′) sia soddisfatta la (21). (Cfr. la (19)).Google Scholar
  18. (40).
    Cfr.L. Tonelli, Opera citata in (3), Vol. II, Cap. I, § 3, n. 8,a), pag. 12.Google Scholar
  19. (42).
    Cfr.N. Berruti Onesti, lavoro citato in (1), § 4, n. 15; in particolare cfr. la nota (29) di pag. 261.Google Scholar
  20. (43).
    Cfr. luogo cit. in (40), n. 8.b), pag. 15.Google Scholar
  21. (56).
    Cfr. Opera citata in (3), Vol. II, Cap. I, § 4, n. 11,a), pag. 27.Google Scholar
  22. (57).
    Cfr.L. Tonelli, Opera citata in (3), Vol. II, Cap. I, n. 9.c), pag. 20.Google Scholar
  23. (61).
    Cfr.L. Tonelli, Opera citata in (3), Vol. II, Cap. I, n. 10, pp. 21–27.Google Scholar
  24. (64).
    Si può fare una osservazione analoga a quella contenuta nella nota (58).Google Scholar

Copyright information

© Nicola Zanichelli Editore 1966

Authors and Affiliations

  • Natalia Berruti Onesti
    • 1
  1. 1.Pavia

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