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Annali di Matematica Pura ed Applicata

, Volume 27, Issue 1, pp 293–320 | Cite as

Zur Verallgemeinerung des Vierscheitelsatzes und seiner Umkehrung

  • Otto Haupt
Article

Bibliography

  1. (1).
    Blaschke, W.,Kreis und Kugel, Leipzig 1916, S. 161;Mukhopadhyaya, S., (I)Some general theorems in the geometry of a plane curve, « Calcutta University Publications 1922=Collected geometrical Papers », Part. I (Calcutta 1929), S. 118; ferner (II)Extended minimum- number theorems of cyclic and sextactic points on a plane convex oval, « Math. Zeitschr », 33 (1931), S. 648 ff.Google Scholar
  2. (2).
    Die hier (Nr. 1.1. und 1.2.) betrachteten Ovale bzw. Konvexbogen sollen zweimal stetig differenzierbar sein und überall endliche, von Null verschiedene Krümmung besitzen; das soll heissen: Das Oval gestattet eine Darstellungx=f(t),y=g(t), 0≤t≤1, wobeif undg zweimal stetig diffenzierbar sind mitx″y′−x′y″ ≠ 0. Wir bezeichnen ein solches Oval kurz als stetig gekrümmt.Google Scholar
  3. (3).
    In der klassischen Differentialgeometrie wird als « Scheitel » jeder Punkt des Ovals erklärt, der eine Extremstelle für den Krümmungsradius, d. h. für den Radius des (unter unserer Differenzierbarkeitsvoraussetzung existierenden) freien Krümmungskreises (vgl. im Text Nr. 1.3.) liefert. In dem für uns in Betracht kommenden Falle, dass die Scheitel im Sinne der oben im Text gegebenen Definition isoliert liegen, sind beide Definitionen äquivalent; vgl.Haupt,Zur geometrischen Kennzeichnung der Scheitel ebener Kurven, « Archiv. d. Math. », 1. (1948), S. 102 ff.Google Scholar
  4. (4).
    Mukhopadhyaya, S., (I)New methods in the geometry of a plane arc: I. Cyclic and sextatic points, « Bull. Calcutta math. Soc., Vol. I. (1909)=Collected geometrical papers », Part. I, S. 15, prop. III., sowie (II) a. a. O. (1);Blaschke, W., (I) a. a. O. (1), S. 160, sowie (II)Vorlesungen über Differentialgeometrie, I., 3. Aufl., Berlin 1930, S. 30 ff. und die dort (S. 32) angegebene Literatur; dazu noch v. Sz.Nagy, G.,Ein Beweis des Vierscheitelsatzes, « Jahresber, d. d. Math, Ver. », 52, (1942), Abt. I, S. 198–200; Weitere Literatur bei Bonnesen-Fenchel,Theorie d. konvexen Körper, « Ergebnisse d. Math. u. Grenzgebiete », 3. Bd., Berlin 1935; Fürnicht-konvexe Kurven vgl. H. Kneser,Neuer Beweis des Vierscheitelsatzes, Christ. Huygens Bd. 2 (1922–23), 315 ff.Google Scholar
  5. (5).
    Vgl.Haupt,Zur Theorie der Realitätsordnungen, « Monatsh. f. Math. u. Physik », 40 (1933), S. 47.Google Scholar
  6. (6).
    Juel, C.,Om simple cykliske kurver, « Danske Vidensk. Selskab Skrifter, 7. R., naturv. og matem. Afd. » VIII, Nr. 6 (1911);Blaschke, a. a. O. (4), (II) S. 49, Aufg. 21;Bose, R. C.,Circles of curvature, « Math. Zeitschr. », 35 (1932), S. 24;Haupt, a. a. O. (5), S. 48;Bol, G.,Ein Satz über Eilinien, « Abh. math. Seminar Hamburg », 13 (1940), S. 319.Google Scholar
  7. (7).
    Bezüglich Satz (1) sowie bezüglich des Vierscheitelsatzes sicheMukhopadhyaya a. a. O. (1) und (4). — Anmerkung bei der Korrektur: Inzwischen erschien nochG. Bol,Eilinien und sextaktische Punkte, « Archiv. d. Math. », 1 (1948), S. 94 ff., worin unser Satz (B) (1) in Nr. 2.2. für den speziellen Fall bewiesen wird, dass der GrundbogenB ein analytisches Oval ist und dass die Ordnungscharakteristiken die Kegelschnitte sind. Die ausserdem dort (§ 8) gewonnenen Sätze dürften sich als Folgerungen aus unserem Satz (B) (1) für den Fall eines BogensB ergeben.Google Scholar
  8. (8).
    Mukhopadhyaya a. a. O. (1) (I) und (II) je Nr. 1. und 2.Google Scholar
  9. (9).
    Wir bedienen uns nämlich der Zurückführung auf den Fallt=0 (in unserer späteren Bezeichnungk=1) vermittelst vollständiger Induktion, wodurch mancherlei Beweisschwierigkeiten vermeidbar werden. Dafür muss das Auftreten von Grundpunkten (vgl. Nr. 2.1.) auf dem Grundbogen zugelassen werden, was aber keinerlei Komplikationen mit sich bringt.Google Scholar
  10. (10).
    Vgl.Haupt-Aumann-Pauc,Differential- u. Integralrechnung, 2. Aufl., Berlin 1948, Bd. II., Nr. 2.2.6.1., Satz 1a.Google Scholar
  11. (11).
    Mukhopadhyaya, a. a. O. (1).Google Scholar
  12. (12).
    Vgl.Haupt,Über Verallgemeinerungen des Böhmerschen u. verwandter Ovalsätze, « Abh. math. Seminar Hamburg », 15 (1943), S. 130 ff.Google Scholar
  13. (13).
    Haupt,Verallgemeinerung eines Satzes usw, « Sitz. Ber. d. medizin.-physikal. Sozietät zu Erlangen », 65 (1934), S. 279 ff., sowie ebenda 67 (1935), S. 13.Google Scholar
  14. (14).
    Vgl. z.B. Haupt,Zyklisch ordnungshomogene Bogen, « Journ. f. d. r. u. angew. Math. », 178 (1937), S. 14 ff. und 180 (1939), S. 44 ff.Google Scholar
  15. (15).
    Zu Vor. I – III, vgl.Haupt, a. a. O. (5), Nr. 1.1.Google Scholar
  16. (16).
    Das GrundgebietG kann auch mitE 2 identisch sein; als Begrenzung vonG gelte dann die uneigentliche Gerade der zur affinen Ebene erweitertenE 2.Google Scholar
  17. (17).
    Betr. Schnitt- und Stützpunkt vgl. a. a. O. (5), Nr. 1.3. Soweit von Schnittpunkten die Rede ist, wird hier der Durchschnitt vonB mit jeder OCh als endlich angenommen.Google Scholar
  18. (18).
    Ist das GrundgebietG kompakt, so sei die Konvergenz als metrische (im Hausdorffschen Sinne) erklärt, aber mit dem Zusatz betr. Teilbogen wie in Nr. 2.1., II., (c), (2′). IstG nicht kompakt, so herische metrische Konvergenz in jedem kompakten Teil vonG.Google Scholar
  19. (19).
    Ist nämlichB eine Kurve, aberKεk ein Bogen mitP iεBK,i=1,...,r, wor ≥ 3, so sind z. B. suchP 2,P 3, ...,P r,P 1 aufB natürlich angeordnet, aber nicht aufK, fallsP 1,P 2, ...,P r natürliche Anordnung aufK ist. Da(Nach Vor., vgl. a.a.O. (15)) das Grund. gebiet von einer einfachen KurveJ begrenzt wird, kann man aber erforderlichenfalls die OCh, soweit sie Bogen sind, stets zu Kurven erweitern(durch Hinzunahme eines geeigneten Teilbogens vonJ).Google Scholar
  20. (20).
    IstB eine Kurve, so entsprechen die beiden « Seiten » vonB etwa dem vonB begrenzten beschränkten und nicht beschränkten Gebiet (gemäss des Jordanschen Kurvensatzes). IstB ein Bogen, so kann man ihn zu einer Kurve ergänzen (vgl. z.B. Kérékjàrtó, B. v.,Vorles. über Topologie I., Berlin 1923, S. 69).Google Scholar
  21. (21).
    Eink-ScheitelS heisst isoliert, wenn in einer Umgebung vonS aufB ausserS keink-Scheitel existiert. — Zur Feststellung in (B) (4), dass unter unseren Voraussetzungen I.–IVa. jeder isoliertek-Scheitel genau denk-OW (k+1) besitzt, vgl. Entsprechendes für Raumkurven beiJ. Sauter, Math. Zeitschr, 42 (1937), 592, Zusatz.Google Scholar
  22. (22).
    Die OCh sind dann auch sämtlich Kurven. Vgl. Nr. 2.1., III.Google Scholar
  23. (23).
    Falls die eindeutige Existenz der k-Paratingente nicht vorausgesetzt wird, gilt der Satz im allgemeinen nicht. Vgl. das Beispiel in Nr. 3.2.1.2.Google Scholar
  24. (24).
    Vgl. a. a. O. (5), Nr. 2.4. Der Reduktionssatz gilt auch dann, wenn Grundpunkte aufB liegen.Google Scholar
  25. (25).
    Vgl. a. a. O. (5), Nr. 3.2. Der Monotoniesatz gilt auch, wenn Grundpunkte aufB liegen.Google Scholar
  26. (26).
    Vgl, a. a. O. (4). Beir. die Begriffe « Gewinn » und « Verlust » vgl. z. B. a. a. O. (14), 2. Abh., Nr. 1.5.1. ff.Google Scholar
  27. (27).
    Vgl. für das Folgende a. a. O. (5), Nr. 4.2.; ferner a. a. O. (2), Nr. 2.4. ff. Der Kontraktionssatz gilt unter den Vor. I.-III. auch, wenn Grundpunkte aufB liegen.Google Scholar
  28. (28).
    Vgl. a. a. O. (12), Nr. 2.3.1.Google Scholar
  29. (29).
    Vgl. a. a. O. (27). Entscheidend dafür, dass der früher gegebene Beweis auch die Verschärfung liefert, ist, dass bei den Überlegungen a. a. O. (5), Nr. 4.71. und 4.72, nur Kontraktionsprozesse verwendet werden, vermittelst deren lauter (k+1)-tupel mit den Eigenschaften (A) – (D) (vgl. oben im Text) gewonnen werden.Google Scholar
  30. (30).
    Vgl. z.B. Haudt-Aumann-Pauc, a. a. O. (10), 1. Bd., S. 35.Google Scholar
  31. (31).
    Vgl, a. a. O. (5), Nr. 6.3.Google Scholar
  32. (32).
    Die Begrenzungspunkte (Anfangs-und Endpunkt) vonB können nichtk-Scheitel sein, weil sie Begrenzungspunkte von Bogen desk-OWk sind.Google Scholar
  33. (33).
    Grundpunkte nehmen dabei keine Sonderstellung ein und dürfen mitk-Scheiteln zusammenfallen.Google Scholar
  34. (34).
    Vgl.Juel, C.,Einleitung in die Theorie der ebenen Elementarkurven 3. und 4. Ordnung, « Danske Vidensk, Selsk, Skrifter, 7. R., naturv. og mathem. Afd. », XI. 2 (1914).Google Scholar
  35. (35).
    Vgl. a. a. O. (5), Nr. 1.8., S. 16.Google Scholar
  36. (36).
    Es gibt z. B. Bogen vom zyklischen Ordnungswertt≥5 mit unendlich vielen Punkten von mindestens dem zyklischen OW Vier. (Vgl.Haupt,Raumbogen beliebig vorgegebener lokaler Ordnung, « Journ. f. d. r. u. angew. Math. », 184 (1942), S. 77 ff., ferner « Sitz. Ber. d. bayer. Akad. d. Wiss. math. - naturw. Abt. », 1939, S. 253 ff). Daraus folgt, dass für Bogen (oder Kurven) von einemk-OW grösser als (k+1) in allgemeinen eine (endliche) Schranke für die Anzahl derk-Scheitel nicht mehr existiert.Google Scholar
  37. (37).
    Vgl. a. a. O. (5), Nr. 4.2. Übrigens gilt Nr. 3.5.1. unabhängig von Vor. IVa., Nr. 2.1.Google Scholar
  38. (38).
    IstB eineKurve, so kann man als AnfangspunktA einen beliebigen, unterhalbS 1 und oberhalbS 3 gelegenen Punkt wählen; als EndpunktE kann ebenfallsA genommen werden.Google Scholar

Copyright information

© Swets & Zeitlinger B.V. 1948

Authors and Affiliations

  • Otto Haupt
    • 1
  1. 1.Erlangen

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