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Annali di Matematica Pura ed Applicata

, Volume 27, Issue 1, pp 177–241 | Cite as

Sulle curve sghembe algebriche di residuale finito

  • Federico Gaeta
Article

Sunto.

Si studiano le curve sghembe di residuale finito; si determina la base per l'ideale corrispondente; si dimostra che esse sono aritmeticamente normali secondoZariski; si approfondisce la classificazione delle curve che ilDubreil chiama di 2a specie. Molti di questi risultati si estendono alle superficie e alle varietà.

Bibliography

  1. (1).
    Nella mia qualità di discepolo ricercatore dell'Istituto Nazionale di Alta Matematica in Roma.Google Scholar
  2. (2).
    VediSeveri,Il concetto generale di molteplicità delle soluzioni pei sistemi di equazioni algebriche e la teoria dell'eliminazione, questi « Annali », t. XXVI, p. 221 (nel seguito citeremo brevemente questa Memoria con la parola «Molteplicità »). Secondo i concetti di questo lavoro leC i+C i-1 costituiscono l'intersezionegeneralmente semplice delle due su perficie, perchè nei punti ad esse comuni, le superficie hanno molteplicità d'intersezione 2 e non 1. Un'osservazione del genere verrà sottintesa nei casi analoghi.Google Scholar
  3. (3).
    In particolare nell'S 4 vi sono curve di ordine primo comunque elevato, soddisfacenti a quelle condizioni, contenute in una rigata cubica razionale.Google Scholar
  4. (4).
    V. P, Dubreil,Quelques proprietés des varietés algébriques se rattachant aux théories de l'Algèbre moderne, « Act. scientifiques ind. ». Exposés à la mém. de J. Herbrand, XII, Paris, 1935, p. 20. In seguito citeremo questo lavoro con le paroleVarietés algébriques.Google Scholar
  5. (5).
    V. Severi,Su alcune questioni di postulazione, » Rend. Circ. Mat. di Palermo «, tomo XVII, 1903. In seguito questo lavoro sarà citato con la parolaPostulazione. Ivi si dimostra che le cosiddette aggiunte diSeveri ad una curva iperspazialeC irriducibile e priva di punti multipli, non contenentiC, segano fuori dei gruppi fissi una serie lineare completa. La dimostrazione è fondata sulle condizioni di rappresentabilità di una forma come combinazione lineare di altre ottenute daSeveri nella sua notaRappresentazione di una forma ..., « Rend. Lincei », t, XI, (5), 1902 e si estende senza difficoltà alle varietà. Lo stessoSeveri fa uso del teorema per le superficie di unS r.Google Scholar
  6. (6).
    Cioè resti una dell'altra rispetto adl forme del loro spazio.Google Scholar
  7. (7).
    V. Severi,Molteplicità, § 4, 11, pag. 237.Google Scholar
  8. (*).
    Ringrazio altresi colleghi ed amici che sulla presente redazione hanno colmato le deficenze della mia conoscenza della lingua italiana.Google Scholar
  9. (8).
    VediO. Zariski,Some results in the arithmetic theory of algebraic varieties, « American Journal of Mathematics «, Tomo LXI, 1939, p. 349. Se le coordinate omogenee del punto generale della varietà irriducibileV d sono (η0, η1, ..., ηr),V d è aritmeticamente normale secondoZariski quando l'anelloK0, η1, ..., ηr] (K è il corpo delle costanti) è integral. mente chiuso nel suo corpo quoziente. Mediante il processo che egli chiamachiusura integrale, si riesce a trovare una varietà aritmeticamente normale birazionalmente equivalente ad ogni varietà dataV d. UnaV d aritmeticamente normale è sempre priva di varietà multiple (d−1)-dimensionali in guisa che col processo anzidetto per le curve si sciolgono le singolarità. La caratterizzazione menzionata delleV d aritmeticamente normali è dovuta aH. T. Muhly,A remark on normal varieties, « Annals of Mathematics », vol. 42, n. 4, October 1941, pag. 921.Google Scholar
  10. (9).
    V kl,W kl ecc. indicano varietà di dimensionik e ordinel.Google Scholar
  11. (10).
    Per le curve (d=1) il teorema fu enunciato senza dimostrazione dal prof.Severi nel Seminario dell'Istituto di Alta Matematica in Roma. Vedi anche per un teorema dello stesso tipoF. Severi,Serie, sistemi d'equivalenza e corrispondenze algebriche sulle varietà algebriche (a cura di F. Conforto ed E. Martinelli, Roma, Cremonese, (1942), p. 371–372). La dimostrazione; com'è sopra esposta trovasi in una mia nota intitolataUna caratterizzazione geometrica delle varietà aritmeticamente normali, « Commentationes Pontificiae Academiae Scientiarum », 1948. Dal punto di vista dell'Algebra astratta vedi ancheP. Dubreil, C. R. 226, n. 7, 1948 eR. Apéry, C. R. 220, 1945, pag. 234.Google Scholar
  12. (11).
    O. Zariski,Normal varieties and birational correspondences, « Bulletin of the American Mathematical Society », vol. 48, n. 6, 1942, pagg. 402–413. Se η0, η1, ..., ηr, sono le coordinate omogenee del « punto generico » diV, si chiama anello quoziente di una sottovarietàW diV l'anello dei quozientif(η)/g(η) dovef eg sono forme dello stesso ordine in η0, η1 ..., ηr eg ≠ 0 inW.zbMATHMathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  13. (12).
    V. Severi,Postulazione.Google Scholar
  14. (13).
    Ricordiamo che unH-ideale oideale omogeneo è un ideale di polinomi tale che sef appartiene all'ideale lo stesso accade con tutte le parti omogenee dei diversi gradi in cui si decompone. Condizione necessaria e sufficiente affinchè un ideale sia omogeno è che ammetta una base costituita da forme. In seguito considereremo soltanto ideali omogenei e non scriveremo l'H, sottintendendo ancheomogeneo.Google Scholar
  15. (14).
    V. Severi,Molteplicità, § 4.Google Scholar
  16. (15).
    V. G. Gherardelli,Sulle curve sghembe algebriche intersezioni semplici complete di tre superficie « Atti della R. Acc. d'It. », Fasc. 12, s. VII, vol. IV.Google Scholar
  17. (16).
    V. F. Severi,Fondamenti di geometria sulle varietà algebriche, « Rend Circ. Mat, di Pal. », 28, 1909.Google Scholar
  18. (17).
    V. Severi,Serie d'equivalenza ..., citate, pag. 375. Si vede anche facilmente l'opportunità dell'osservazione esaminando la dimostrazione della completezza dei sistemi staccati su unaV d dalle aggiunte diSeveri nel suo lavoroPostulazione.Google Scholar
  19. (18).
    Nel casod=2 questo fatto era già osservato daSeveri,Postulazione, n. 22 (p. 22). L'estensione che abbiamo data qui è sostanzialmente la stes a ivi contenuta.Google Scholar
  20. (19).
    V. Severi,Sulla varietà che rappresenta gli spazi subordinati di data dimensione, immersi in uno spazio lineare, « Annali di Matematica », Serie III, Tomo XXIV.Google Scholar
  21. (20).
    V. P. Dubreil,Varietès algébrigues.Google Scholar
  22. (21).
    V. Dubreil,Var. algébrigues, Théor. VII.Google Scholar
  23. (22).
    F. Severi,Serie, sistemi di equivalenza ..., a pag. 42.Google Scholar
  24. (23).
    F. Severi,Rappresentazione di una forma ..., già citata.Google Scholar
  25. (24).
    Esposta daSeveri nelle sue lezioni di Seminario dell'Ist. Naz. di Alta Matematica in Roma.Google Scholar
  26. (25).
    V. Severi,Molteplicità, § 2.Google Scholar
  27. (26).
    Queste condizioni sono forse troppo restrittive; la teoria delle molteplicità d'intèrsezione fornisce però i criteri per liberarsene. Se laV d ad es. è spezzata e contiene parti multiple bisogna precisare con quale molteplicità vi passano lef 1=0 ...,f r-d=0 affinchè i teoremi ottenuti siano validi. V. nel Cap. I le contraddizioni apparenti che offrono a qualche teorema diDubreil la rappresentazione monoidale di una curva sghemba.Google Scholar
  28. (27).
    Col linguaggio della teoria degli ideali:L'ideale appartenente a Γd−1,è la somma degli ideali appartenenti a Vd e Wd.Google Scholar
  29. (30).
    Severi,Postulazione, 3, n. 9, pag. 12. Vale la pena osservare che l'irriducibilità delle due curve è essenziale. Nell'S 3 la quadrica contenente una quarticaC di seconda specie è segata ulteriormente da unaF 3 perC in una coppia di rette sghembe. Le forme d'ordine 2+3−4=1, cioé i piani staccano sullaC una serie deficiente. Nel numero 7 di questo Capitolo vedremo la spiegazione di questo fatto.Google Scholar
  30. (31).
    La dimostrazione esposta è stata adoperata soltanto, per arrivare a questo corollario nella mia notaSobre las curvas y las superficies del Sr aritmeticamente normales, « Revista Matematica Hispano-americana », 4a serie, Tomo VII, 1947.Google Scholar
  31. (32).
    Severi,Serie, sistemi d'equivalenza ..., già citato pag. 242 ed anchePostulazione pag. 6.Google Scholar
  32. (33).
    Ved.Postulazione, p. 22.Google Scholar
  33. (35).
    V. Dubreil,Var. Alg., Théor. VII, pag. 21.Google Scholar
  34. (38).
    V. Severi,Serie, sistemi d'equivalenza ..., Edizione Cremonese, Roma, 1942, Cap. V, n. 96.Google Scholar
  35. (39).
    V. nota (13) a piè pag. vedi pureB. L. Van der Waerden, « Moderne Algebra », II, pag. 139.Google Scholar
  36. (40).
    V. Hilbert,Über die Theorie der algebraischen Formen, « Math. Annalen », 36, S. 473.Google Scholar
  37. (41).
    V. Dubreil,Var. algébriques, cap. I, 3, pag. 15.Google Scholar
  38. (44).
    Il concetto di intersezione semplice è stato precisato daSeveri nella sua MemoriaMolteplicità e prima limitatamente alle curve sghembe per rispondere ad una obiezione diPerron relativa alla rappresentabilità di una curva sghemba come intersezione completa di quattro superficie, nella nota degli « Abhand. Math. Seminar. Amburgo », B 15, 193, pag. 97,Über die Darstellung algebraischer Mannigfaltigkeiten als Durschnitte von Formen.Google Scholar
  39. (46).
    Cfr.Castelnuovo,Sui multipli di una serie lineare, « Rend. Circ. Mat. Palermo », t. VII, 1893, n. 2.Google Scholar
  40. (47).
    V. Severi,Postulazione.Google Scholar
  41. (48).
    Ved. ancheSeveri,Postulazione, n. 23.Google Scholar
  42. (49).
    V. Cap. II, n. 8.Google Scholar
  43. (50).
    Se per il valore ρ,C ha l'ordinen per ρ+1, ρ+2, ..., ρ+l l'ordine diC saràn+N,n+2N, ..., ρ+lN.Google Scholar
  44. (51).
    V. Enriques-Chisini,Teoria geom. delle equazioni, Vol. III, pag. 100.Google Scholar
  45. (52).
    Severi,Über die Darstellung algebraischer Mannigfaltigkeiten als Durschnitte von Formen, « Ablandungen Math. Seminar der Hansischen Universitat », Bd 15, 1943, pag. 1947.Google Scholar
  46. (53).
    Poichè 3 è primo con 5 esistono infiniti numeri primi della forma 3ρ+5 (V. L.Dirichlet,Werke, I. pagg. 619–623). Ad essi corrispondono altrettante curve delle stesso ordine che fanno al caso nostro.Google Scholar
  47. (55).
    Questi due tipi di superficie canoniche sono state già indicate daEnriques nella sua opera postuma,Le superficie algebriche, cap. VIII, n. 8. Si osservi che non vi sono altre superficie canoniche regolari di generi uguali a 5 per le quali i sistemi pluricanonici completi siano tagliati dalle forme delloS 4 fuori di questi due tipi.Google Scholar
  48. (57).
    V. Cap. II, n. 12.Google Scholar
  49. (58).
    V. Noether,Zur Grundlegung der theorie der algebraischen Raumkurven, » Abhand. lungen der Königl. Preuss. Ak. der Wissenschaften », Berlin, 1883.Google Scholar
  50. (59).
    Cfr.Severi,Trattato di Geometria algebrica, Zanichelli, Bologna, 1900, pag. 64.Google Scholar
  51. (62).
    V. P. Dubreil,Sur quelques proprietés des systémes de points dans le plan et des courbes gauches algébriques, « Bulletin de la Societé mathematique de France », 61, 1933, pag. 263.Google Scholar
  52. (65).
    LaC 18 è di residuale uno perchè laF 5 e laF 6 si segano altrove in unaC 12 intersezione semplice completa di unaF 3 ed unaF 4 irriducibili e prive di punti multipli, per quanto abbiamo visto nel n. 15.Google Scholar
  53. (66).
    P. S. Macaulay,Some properties of enumeration in the theory of modular systems, « Proc. London Math. Society », t. 26, 1927, pag. 531.E. Sperner,Über einem Kombinato. rischen Satz von Macaulay und seine Anwendungen auf die Theorie der Polynomideale, « Abh. math. Seminar 1. Univ. Hamburg. », t. 7, 1929, pag. 149.P. Dubreil, lav. cit. in (62).zbMATHGoogle Scholar

Copyright information

© Swets & Zeitlinger B.V. 1948

Authors and Affiliations

  • Federico Gaeta
    • 1
  1. 1.Madrid

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