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Questioni di realità sulle curve trigonali reali

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Sunto.

In relazione a curve trigonali reali (di genere e specie assegnati) vengono svolte alcune questioni di realità, ed in particolare quella concernente il numero dei circuiti della parte reale ed il loro comportamento rispetto alla g 3 4 il che dà luogo ad una classificazione di tali curve. Sono perciò riprese od introdotte svariate considerazioni che potrebbero anche venire più largamente utilizzate.

Bibliography

  1. (1)

    Cfr.A. Harnack,Ueber die Vieltheiligkeit der ebenen algebraischen Curven, « Math. Ann. », 10, (1876), pp. 189–198;F. Klein,Ueber die konforme Abbildungen von Flächen, « Math. Ann. », 19, (1882), pp. 159–160;Ueber Riemann's Theorie der algebraischen Functionen und ihrer Integrale, Leipzig, (1882), p. 72. oppure « Ges. Math. Abhandlungen », 3, Berlin, (1923), p. 564;Ueber Realitätsverhältnisse bei der einem beliebigen Geschlechte zugehörigen Normalkurve der ϕ, « Math. Ann. », 42. (1892), pp. 1–29, oppure « Ges. Math. Abhandlungen », 2, Berlin, (1922), pp. 170–197.

  2. (2)

    Un'osservazione analoga trovasi inL. Brusotti,Sul numero dei circuiti delle curve algebriche reali di una quadrica reale, « Rend. di Mat. », (5), 3, (1942), pp. 113–120.

  3. (3)

    Cfr. i lavori delKlein cit. in (1).

  4. (4)

    Come è noto dicesi trigonale una curva algebrica non iperellittica che contenga unag 3 1 . Se il genere di una curva èp=3 op=4, la curva (se non è iperellittica) è senz'altro trigonale (contiene ∞1 g 3 4 oppure risp. due); perp>4 le curve trigonali sono invece a moduli particolari, e lag 3 1 è unica. Cfr.F. Severi,Sul teorema di esistenza di Riemann, « Rend. Palermo », 46, (1922), pp. 105–116, a pag. 115; oppureE. Bertini,La Geometria delle serie lineari sopra una curva piana secondo il metodo algebrico, « Ann di Mat. », (2), 22, (1894), pp. 1–40, n. 44. La ripartizione delle curve trigonali di generep in « specie » è stata introdotta nella recente Memoria diA. Maroni,Le serie lineari speciali sulle curve trigonali, « Ann. di Mat. », (4), 25, (1946), pp. 341–354.

  5. ()

    Cfr.V. E. Galafassi,Sulle curve algebriche reali delle rigate razionali a generatrici reali, Nota I e II, « Rend. Acc. Lincei », (8), 1, (1946), pp. 827–831 e pp. 922–927.

  6. (6)

    Cfr.C. Segre,Sulle rigate razionali in uno spazio lineare qualunque, « Atti Acc. Torino », 19, (1884), pp. 355–373; oppureE. Bertini,Introduzione alla Geometria proiettiva degli Iperspazi, Messina (1923), cap. XIV.

  7. (14)

    Considerata invero nelloS r una rigata normaleV 2 r−1 a generatrici reali, se ne introduca la ben nota rappresentazione piana ottenuta per proiezione dalloS r −3 individuato dar−2 punti genericiP i della rigata stessa, e si osservi che —per una rappresentazione reale — e in particolare lecito, quandor sia dispari (risp. pari) assumere come puntiP i un sol punto reale (risp. nessun punto reale) ed i rimanenti distribuiti in coppie di immaginarioconiugati. Si ravvisa cosi che, sotto l'aspetto delle questioni di realità, le circostanze che si presentano perr dispari (risp. pari) sono ognora assimilabili a quelle che per es. si presen. tano perr=3 (risp.r=2), onde risulta in particolare: 1o)La parte reale della V2 r−1 è costituita da una falda la qualecon opportune convenzioni quando la specie è zerorisulta di « ordine di connessione » Z=2,orientabile o risp. non orientabile a seconda che r sia dispari o risp. pari. 2o)Le generatrici reali della V2 r−1 costituiscono un continuo assimilabile a quello delle generatrici reali di un regolo di una quadrica a punti iperbolici se re dispari, e se rè pari a quello delle rette reali di un fascio (reale), Questa seconda affermazione (ove s' pongar=p−1) è appunto quella utilizzata nel testo: una sua conferma indiretta, ma indipendente dalla rappresentazione piana delle rigate, si trova nel seguito (cfr. n. 10). Per generalità sulla rappresentazione piana delle rigate razionali, cfr. per es.E. Bertini (6), n. 10–12. Per il significato di « ordine di connessione », anche in casi in cui giovano particolari convenzioni, cfr. per. es.A. Comessatti,Sulla connessione delle superficie razionali reali, Ann. di Mat. », (3), 23, (1914), pp. 215–283; cfr. ancheF. Enriques,Alcune osservazioni sulle superficie razionali reali, « Acc. Scienze 1st. Bologna », (2), 16, (1911–12), pp. 70–73.

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Galafassi, V.E. Questioni di realità sulle curve trigonali reali. Annali di Matematica 27, 135–151 (1948) doi:10.1007/BF02415564

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