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Teoremi di completezza sulla frontiera di un dominio per taluni sistemi di funzioni

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Sunto.

Nella prima parte si estendono alcuni teoremi della teoria del potenziale di superficie. Successivamente si stabiliscono teoremi di unicità relativi ai problemi al contorno per le funzioni armoniche considerati in una certa classe. Da questi si deducono infine teoremi di completezza nello spazio funzionale diHilbert per determinati sistemi di funzioni.

Bibliography

  1. (2) a)

    Cfr.M. Picone,Appunti d'Analisi superiore, (« Rondinella », Napoli, (1940)), pp. 752–65;

  2. (2) b)

    Nuovi metodi risolutivi per i problemi d'integrazione delle equazioni lineari a derivate parziali e nuova applicazione della trasformata multipla di Laplace nel caso delle equazioni a coefficienti costanti, (« Atti dell'Accademia delle Scienze di Torino », vol. 75. (1939–40));

  3. (2) c)

    Sulla traduzione in equazione integrale lineare di prima specie dei problemi al contorno concernenti i sistemi di equazioni lineari a derivate parziali, (« Rend. Accademia Nazionale dei Lincei », serie VIII, vol. II, (1947)).

  4. (3) a)

    Cfr.L. Amerio.Sull'integrazione dell'equazione Δ2u−λ2u=fin un dominio di connessione qualsiasi, (« Rend. Istituto Lombardo di Scienze e lettere ». vol. 78, (1944–45));

  5. (3) b)

    Sull'integrazione dell'equazione Δ2k u=f, (« Annali di Matematica », tomo 24, della serie IV, 1945));

  6. (3) c)

    Sull'equazione di propagazione del calore, (« Rend. di Matematica e delle sue applicazioni », (Roma, 1946));

  7. (3) d)

    Sul calcolo delle soluzioni dei problemi al coutorno per le equazioni del secondo ordine di tipo ellittico, (« American Journal of Mathematics », vol. LXIX, n. 3, July, 1947).

  8. (4) a)

    Cfr.G. Fichera,Sull'integrazione delle equazioni dell'elasticità, (« Rend. dell'Accademia Naz. dei Lincei », serie VIII, vol. II (1947));

  9. (4) b)

    Sull'equilibrio di un solido elastico isotropo e omogeneo, (« Rend. Seminario Matematico dell'Università di Padova », volume XVII (1948).

  10. (9)

    Cfr. ad esempioO. D. Kellogg,Foundations of potential theory, (« Springer », Berlin (1929)) pag. 299.

  11. (11)

    Col solo simbolo ∫ intenderemo sempre l'integrazione estesa a &D.

  12. (12)

    Cfr.L. Amerio, loc. cit. (3) a).

  13. (13)

    Cfr.O. D. Kellogg, loc. cit., pag. 301.

  14. (14)

    Cfr.O. D. Kellogg, loc. cit., pag. 300.

  15. (15)

    Dicendo cheu(P) èbiregolare inD intendiamo, colPicone. affermare che essa è continua assieme alle sue derivate parziali prime in tuttoD, frontiera inclusa.

  16. (16)

    Generalmente la teoria relativa all'equazione integrale (17) è svolta nell'ipotesi che δ(M) sia continua (cfr.Kellogg, loc. cit., pag. 307) oppure anche soltanto limitata (cfr.Picone, loc. cit. (2) a), pag. 617, ma è assai facile constatare che i risultati di essa sussistono inalterati anche se, solamente, si suppone δ(M) sommabile, giacchè gli integrali che si incontrano in tale teoria — dopo quanto si è dimostrato al § 1 — seguitano ad aver senso anche in tale più generale ipotesi, laddove sono sempre lecite le inversioni nell'ordine di integrazione che quella teoria richiede.

  17. (18)

    Cfr.M. Picone, loc. cit. (2) a), pag. 806.

  18. (19)

    Infatti a meno di aggiungere una funzione hölderiana si ha per la ϕ ϕ(M)=−1 / 2π δ(M)+∫δ(Q)R(M, Q)dσ(Q) e laR(M, Q) verifica la limitazionc ‖R(M, Q)‖<A / MQ (cfr.Kellogg, loc. cit., pag. 307).

  19. (20)

    Cfr.M. Picone,Lezioni di Analisi funzionale, (Tumminelli, Roma, 1946), cap. II § 3, n. 131.

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Fichera, G. Teoremi di completezza sulla frontiera di un dominio per taluni sistemi di funzioni. Annali di Matematica 27, 1–28 (1948) doi:10.1007/BF02415556

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