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Sur l'intégrale de Lebesgue-Stieltjes et les fonctions absolument continues de fonctions absolument continues

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References

  1. (1)

    M. Radon dans son MémoireTheorie und Anwendungen der absolut additiven Mengenfunktionen (Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Band 122, Abt. IIa, s. 1205–1438, Wien 1913) donne une définition très générale de l'intégrale deStieltjes, mais lui aussi ne considère que le cas où chacune des intégrales\(\int\limits_a^b {fd\varphi _1 } \) et\(\int\limits_a^b {fd\varphi _2 } \) existe et définit l'intégrale\(\int\limits_a^b {fd\varphi } \) comme leur différence.

  2. (1)

    Rappelons la définition de lavariation algébrique (Ch. de laVallée-Poussin,Cours d'Analyse Infinitésimale, t. 1, 3e édition, pag. 267): SoitF(x) une fonction continue etE un ensemble mesurable. EnfermonsE en une infinité dénombrable d'intervalles (a n,b n) sans points communs deux à deux et considérons la somme\(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left[ {F\left( {b_n } \right) - F\left( {a_n } \right)} \right]} \). Si cette série est absolument convergente, sa valeur est lavariation de F(x) dans l'ensemble des intervalles (a n,b n). Si cette variation tend vers une limite toujours la même quand on fait tendre la somme Σ(b na n) des longueurs des intervalles vers la mesure deE, cette limite estla variation algébrique de F(x) dans l'ensemble E. Il est important de remarquer que dans le cas que nous étudions, la variation de ϕ(x) sur un ensemble peut être positise ou negative, puisqu'on ne suppose guère que la fonction ϕ(x) soit toujours croissante ou toujours décroissante. C'est par cette raison que l'intégrale deLebesgue-Stieltjes \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)d\varphi } \) peut exister sans que les deux intégrales\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)d\varphi 1} \) et\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)d\varphi 2} \) existent, où l'on a posé ϕ(x)=ϕ1(x) − ϕ2(x), ϕ1(x) et ϕ2(x) étant non décroissantes.

  3. (1)

    Ch. De la Vallée-Poussin,Cours d'Analyse, t. 1, 3e édition, pag. 267.

  4. (1)

    Ch. De la Vallée-Poussin,Cours d'Analyse, t. 1, 3e édition, pag. 283.

  5. (1)

    Ch. De la Vallée-Poussin,Cours. d'Analyse, t. I, 3e édition, pag. 281–283.

  6. (1)

    N. Lusin,L'intégrale et la série trigonométrique (en russe), Moscou, 1915, pag. 109.

  7. (2)

    D. Menchoff,Sur la représentatîon conforme des domaines plans, Mathematische Annalen, Band 95, Heft 5, pag. 645.

  8. (1)

    Ch. De la Vallée-Poussin,Cours d'Analyse, t. 1, 3e édition, pag. 28.

  9. (1)

    S. Banach,Sur une classe de fonctions continues, Fundam. Math., t. 8, 1926, pag. 166–172.

  10. (2)

    N. Bary,Sur la représentation analytique d'une classe de fonctions continues. Comptes Rendus, t. 183, pag, 469.

  11. (3)

    Loc. cit.

  12. (4)

    Loc. cit.

  13. (1)

    N. Lusin,L'integrale et la série trigonométrique, pag. 116 et 118.

  14. (2)

    A. Denjoy, Comptes Rendus, t. 154, pag. 859 et 1075.

  15. (3)

    A. Denjoy,Annales de l'École Normale supérieure, vol. 33, pag. 127 et vol. 34, pag. 181;A. Khintchine, Comptes Rendus, t, 162, pag. 287.

  16. (1)

    M. Ruziewicz, (Remarque à la Note de M. Banach « Sur une classe de fonctions continues », Fundam. Math., t. 8, 1927, pag. 173), a construit une fonction qui jouit la propriété (S) mais n'a pas de dérivée sur un ensemble de mesure positive. Puisque nous savons (§ 8) que toute fonction vérifiant la condition (S) est une fonction absolument continue de fonction absolument continue (et réciproquement) il en suit que l'exemple deM. Ruziewicz prouve aussi l'existence des fonctions absolument continues de fonctions absolument continues n'ayant pas de dérivée sur un ensemble de mesure positive.

  17. (2)

    On pourrait déduire ce théorème d'un résultat deM. Banach: toute fonction jouissant de la propriété (N) a une dérivée déterminée et finie sur un ensemble de mesure positive (S. Banach,Sur une classe de fonctions continues, Fundam. Math. t. 8, 1926, pag. 169).

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Bary, N., Menchoff, M.D. Sur l'intégrale de Lebesgue-Stieltjes et les fonctions absolument continues de fonctions absolument continues. Annali di Matematica 5, 19–54 (1928) doi:10.1007/BF02415416

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