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Parametrizzazione delle superficie continue di area finita secondo Lebesgue

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Sunto.

Si dimostra che ogni superficie continua in forma parametrica di area finita secondo Lebesgue ammette una rappresentazione sul quadrato fondamentale (e quindi infinite) per la quale le tre relative trasformazioni piane sono assolutamente continue e per la quale l'area è data dall'integrale classico calcolato con i Jacobiani generalizzati delle tre trasformazioni piane. Inoltre tale rappresentazione riesce quasi conforme nel senso indicato nel testo.

Literatur

  1. (1)

    Cfr.L. Cesari,Sulla quadratura delle superficie in forma parametrica, « Boll. U. M. I. », serie II, Anno. IV (1942), pp. 109–117.

  2. (2)

    C. B. Morrey,An analytic caracterization of surface of finite Lebesgue area, « Amer. Journ. of Math. », vol. LVII (1935). pp. 692–702.

  3. (3)

    L. Cesari, Criteri di uguale continuità ed applicazioni alla guadratura delle superficie, « Annali Scuola Normale Sup. Pisa », ser. II. vol. XII (1943), pp. 61–84.

  4. (4)

    L. Cesari, Sulla rappresentazione delle superficie continue di area finita secondo Lebesgue, « Rend. Ist. Lomb. Scienze c Lettere », vol. 79 (1945–46), pp. 15–45.

  5. (5)

    Cfr. la nota riassuntiva:L. Cesari, Rappresentazione quasi conforme delle superficie continue, « Rend. Accad. Naz. Lincei », Ser. VIII, vol. 1 (1946), pp. 509–514.

  6. (6)

    Cfr.S. Saks,Theory of the integral, « Monografic matematyczne », tom. VII, Warszawa 1937, pp. 221–223.

  7. (7)

    L. Tonelli, Sur la semicontinuité des intégrales doubles du Calcul des Variations, « Acta Mathematica », vol. 53 (1929), pp. 325–346;L'estremo assoluto degli integrali doppi. « Annali Scuola Normale Sup. Pisa », Ser. II, vol. II (1933), pp. 89–130.

  8. (8)

    Per i richiami di questo e dei numeri successivi della teoria delle funzioni di variabile reale, si vedaS. Saks, loc. cit. in (6).

  9. (9)

    L. Tonelli, Sulla nozione di integrale. « Annali di Matematien pura e applicata ». Ser. IV. Tom. XI (1923–24). pp. 105–145.

  10. (10)

    Cfr.L. Cesari, Caratterizzazione analitica delle superficie continue di area finita secondo Lebesgue, « Annali Scuola Norm. Sup. Pisa ». ser. II, vol. X (1941), pp. 253–295, XI (1942), pp. 1–42. Si precisano qui varie proposizioni enunciate in tale lavoro, pp. 272 e segg.

  11. (11)

    Loe. cit. in (10), pp. 277–279.

  12. (12)

    Questa definizione è-dovuta aFrechét e aMc Shane V. E. J. Mc Shane, On the semi-continuity of double integrals in the Calculus of Variations, « Ann. of Math. », Vol. 33 (1932), pp. 460–484.

  13. (13)

    Per una completa caratterizzazione topologica delle relazioni esistenti tra due diverse rappresentazioni di una stessa superfice si vedaJ. T. W. Youngs,The topological theory of Frechet surfaces, « Annals of Math. », Vol. 45 (1944), pp. 753–785.

  14. (14)

    Cfr. per tali definizioniL. Cesari, loc. cit. in (3) eC. B. Morrey, loc. cit. in (2). An analytic caracterization of surface of finite Lebesgue area. « Amer. Journ. of Math. », vol. LVII (1935). pp. 692–702

  15. (16)

    L. Cesari, Sui fondamenti geometrici dell'integrale classico per l'area delle superficie in forma parametrica, « Memorie Reale Accad. Italia », vol. XIII (1943), pp. 1323–1483; in part. pag. 1419.

  16. (17)

    L. Cesari, loc. cit. in (16),, p. 1526.

  17. (18)

    L. Cesari, loc. cit. in (10),, p. 28.

  18. (19)

    L. Cesari, loc. cit. in (16),, p. 1452 e p. 1480.

  19. (20)

    L. Cesari, loc. cit. in (3),, p. 72.

  20. (21)

    L. Cesari, loc. cit. in (3) eC. B. Morrey, loc. cit. in (2).An analytic caracterization of surface of finite Lebesgue area. « Amer. Journ. of Math. », vol. LVII (1935). pp. 692–702

  21. (22)

    Loc. cit. in (3),, p. 75.

  22. (23)

    Loc. cit. in (3),, pp. 83.

  23. (24)

    Loc. cit. in (4),, p. 12 e Osservazione di p. 30.

  24. (25)

    Tale aggiunta non modifica evidentemente le affermazionib),c),d),e). Si confronti anche la dimostrazione del teorema in loc. cit. in (24).

  25. (26)

    L. Cesari, l. c. in (14) e inoltreL. Cesari,Sulle trasformazioni continue e sull'area delle superficie, « Reale Accad. Italia », vol. XII, n. 22, pp. 1305–1395.

  26. (27)

    L. Cesari,Una uguaglianza fondamentale per l'area delle superifice, « Reale Accad. Italia », vol. XIV, n. 29, pp. 891–951. Questa memoria verrà citata in seguito con la sigla « U. F. » seguita della indicazione del paragrafo e del numero.

  27. (28)

    B. v. Kerekjarto,Topologie. Berlin, Springer, 1923, pp. 108–120. Cfr. loc. cit. in (27), pag. 901.

  28. (29)

    Loc. cit. in (28).

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Cesari, L. Parametrizzazione delle superficie continue di area finita secondo Lebesgue. Annali di Matematica 26, 301–374 (1947). https://doi.org/10.1007/BF02415383

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