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Sulle funzioni ipergeometriche confluenti

Sunto.

Studio delle funzioni ipergeometriche confluenti pouendo in primo piano — invece della coppiaM k,m K k,m delle funzioni di Whittaker — la funzioneF(a, c; x) di Pochhammer-Kummer e un'analoga funzione che viene designata conG(a, c; x). È dedicata particolare attenzione alla determinazione del comportamento asintotico al divergere dix o dei parametri.

Literatur

  1. (2)

    Deve inoltre ricordarsi il noto libro diP. AppellJ. Kampe de Feriet:Fonctions hypergéometriques ci hypersphériqes. Polyuomes d'Hermite. (Paris, Gauthier-Villars, 1926) chc dediea non poche pagine alla funzione (1) ivi denotata conG(α, γ, x), nonchè un'estesa Memoria diA. Kienast [« Denkschriften der Schweiz. Naturforsch. Gesell. »57 (1921), 247–325] che però presenta in modo manifesto gli abituali difetti di una (buona) tesi di laurea. In epoca recente si è specialmente occupato delle funzioni ipergeometriche confluenti il Dr.A. Erdély, i cui numerosi lavori sull'argomento sono, in parte, citati nel seguito. Alcuni fra questi contengono buoni elenchi bibliografici: specialmente quelli nel t.42 (1937) della « Math. Zeitschrift » e l'altro in « Sitzunsgber. d. Akad. d. Wissensch, in Wien » IIa,146 (1937), 431–467. Ricordo infine che nella 3q Edizione (Leipzig, Teubner, 1938) delle noteFunktionentafeln diJahnke-Emde si trovano (a pp. 275–282) alenne formule sulla funzioneF(a, c; x) (ivi denotata conM) e parecchi grafici dei suoi valori pera variabile fra — 4 c 4.4,c fra — 1.5 c+4 cx fra o c+8.

  2. (3)

    Sviluppo dei polinomi di Laguerre e di Hermite in serie di funzioni di Bessel [« Giorn. 1st. Ital. Attuari »,12 (1941), 14–33].

  3. (4)

    In: « Math. és term. tud. Értesitö »27 (1909), 1–33.

  4. (5)

    « Journ. f. reine u. ang. Math. » (Crelle)151 (1921), 63–78.

  5. (6)

    Pertan'o le ricerche diP. Burgatti [« Ann. Seuola Norm. Sup. Pisa » (2) 1 (1932), 165–172],B. Levi [« Ibidem », 255–261] cG. Sansone [« Rend Lincei » (6)15 (1932), 125–130, 194–197] sulle sohtzioni polinomiali della (4), sono in sostauza delle ricerche sulle funzioni ipergeometriche confluentio, piu esattamente, sugli zeri dei polinomi diLagperre.

  6. (7)

    Se invecee ò intero si presentano le ben note, non gravi difficolià caratteristiche del caso in eni la differenza delle radici dell'equazione determinante di un punto singolare fuchsiano coincide con un numero intero. V. p. es.Kienast, op. cit. (2)Fonctions hypergéometriques et hypersphériques. Polynomes d'Hermite. (Paris, Gauthier-Villars, 1926) pag. 249. Si badi inoltre che sec è un interonegatirvo ounllo., la funzioneF(a, c, x) perde significato, ma non cosi laF(a—c+1,2c:x).

  7. (8)

    Cfr.G. Doetsch,Theorie und Ancendung der Laplace-Transformation (Berlin, Springer, 1937) p. 66. Nel segnito avremo occasione di riferirci ancora a quest' importante opera, a cui se ne è ultimamente (1946) aggiunta un'altra, probabilmente non meno importante diD. V. Widder (The Laplace-Transformation, 406 pp.) che non abbiamo ancora potuto vedere.

  8. (10)

    V. Doetsch, op. cit., q. 67.

  9. (14)

    V. p. es.Wittaker-Watson,Modern Analysis, pp. 244–245, salvo lievi differenze di forma.

  10. (15)

    Questo lemma non differisce sostanzialmente da un noto teorema sulla trasformazione diLaplace (v.Doetsch, op. cit., p. 199). Tuttavia, data la sua importanza per quanto seguirà appresso crediamo opportuno darne la semplice dimcstrazione che segue.

  11. (37)

    Cfr. op. cit. (3), pp. 20–22.

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Tricomi, F. Sulle funzioni ipergeometriche confluenti. Annali di Matematica 26, 141–175 (1947) doi:10.1007/BF02415375

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