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Sul problema di Cauchy per l'equazione differenziale delle piastre vibranti

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Sunto.

Si assegna, sotto forma di integrale definito, la soluzione dell'equazione differenziale delle vibrazioni di una piastra piana omogenea indefinita essendo dati gli spostamenti iniziali e le velocità iniziali; si deducono alcuni notevoli sviluppi in serie, e si dimostra l'applicazione dei risultati ottenuti al caso della piastra rettangolare e al caso della piastra circolare.

Literatur

  1. (1)

    Vedi ad es.G. Krall,Meccanica Tecnica delle Vibrazioni, p. II, p. 364, (Zanichelli Bologna, 1940.

  2. (2)

    VediSerret,Calcul différentiel et intégrale, tome 2o, p. 138, (14), (Gauthier-Villars, Paris, 1868).

  3. (3)

    Infatti, dalle note formule (VediSerret,loco citato, p. 197),\(\int_0^\infty {x^{p - 1} \cos {\text{ }}x dx = \Gamma (p)\cos \frac{{\pi p}}{2}} ,{\text{ }}\int_0^\infty {x^{p - 1} sen{\text{ }}x dx = \Gamma (p)sen\frac{{\pi p}}{2},} \) valide per 0<p<1, perp=1/2, ricordando che Γ(1/2)=√π si ottiene\(\int_0^\infty {\cos {\text{ }}x\frac{{dx}}{{\sqrt x }} = } \int_0^\infty {sen{\text{ }}x\frac{{dx}}{{\sqrt x }} = } \frac{{\sqrt {2\pi } }}{2},\) ovvero\(\int_0^\infty {\cos {\text{ }}\xi ^{\text{2}} d\xi = } \int_0^\infty {sen{\text{ }}\xi ^{\text{2}} d\xi = } \frac{{\sqrt {2\pi } }}{4},\) e quindi anche\(\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\cos {\text{ }}\xi ^{\text{2}} d\xi = } \int_{ - \infty }^{ + \infty } {sen{\text{ }}\xi ^{\text{2}} d\xi = } \frac{{\sqrt {2\pi } }}{2},\) dalle quali segue la (9).

  4. (4)

    Cfr.Krall,loco citato, p. 366.

  5. (6)

    VediSonine,Recherches sur les fonctions cylindriques, « Mathematiche Annalen », t. XVI, p. 46.

  6. (7)

    H. Hankel, Die Fourier'schen Reihen und Integrale für Cylinder functionen, « Mathematiche Annalen », t. VIII, 1875, p. 471. Per alcune generalizzazioni ed applicazioni della formula diHankel vedi anche:C. Agostinelli,Sulla propagazione elettromagnetica simmetrica rispetto a uu asse, « Annali di Matematica pura ed applicata », serie IV, t. XVII, 1938, p. 225;Idem,Sulla magnetizzazione di un cilindro di lunghezza finita in presenza di un compo magnetico qual. siasi, « Idem », serie IV, t. XX, 1941;Idem,Sopra alcuni integrali delle funzioni cilindriche, « Bollettino U. M. I. », serie II, anno IV, n. 1, ottobre-dicembre 1941.

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Agostinelli, C. Sul problema di Cauchy per l'equazione differenziale delle piastre vibranti. Annali di Matematica 26, 27–41 (1947). https://doi.org/10.1007/BF02415367

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