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Annali di Matematica Pura ed Applicata

, Volume 34, Issue 1, pp 365–405 | Cite as

Esistenza e rappresentazione di funzioni analitiche, le quali, su una curva di Jordan, si riducono a una funzione assegnata

  • Giovanni Zin
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Sia D un dominio jordaniano del piano della variabile complessa z e il contorno C di D sia rettificabile. Sia ϕ(z) una funzione data su C, ivi integrabile secondoLebesgue e soddisfacente alle condizioni\(\mathop \smallint \limits_C \varphi \left( z \right)z^n dz = 0\) (n=0, 1, 2, 3 ...). Sotto tali ipotesi la funzione f(z) definita in D dalle relazioni
$$f\left( z \right) = \varphi \left( z \right)zsuC,f\left( z \right) = \frac{1}{{2\pi i}}\mathop \smallint \limits_C \frac{{\varphi \left( t \right)dt}}{{t - s}}inD - C$$
è continua in ogni eventuale punto lipschitziano di C nel quale la ϕ(z) è continua. Tale è il risultato che viene stabilito nel Cap. I e sul quale si fondano le deduzioni dei teoremi che vengono stabiliti nel Cap II.

Nel Cap. II si considera il caso in cui la ϕ(z) è assegnata soltanto su un arco Open image in new window del contorno di un dominio jordaniano D. Dopo trasformazione del problema esistenziale mediante la rappresentazione conforme, si stabilisce una condizione sufficiente, alla quale deve soddisfare la ϕ(z), affinchè in D esista una funzione f(z), olomorfa in D - FD e riducentesi alla ϕ(z) su Open image in new window . Per il caso in cui la ϕ(z) sia su Open image in new window continua, si stabilisce, fra l' altro, una condizione necessaria e sufficiente affinchè esista una funzione f(z), continua in D, olomorfa in D - FD e coincidente con la ϕ(z) su Open image in new window .

Quando l' esistenza della f(z) olomorfa in D-FD e riducentesi sull'arco Open image in new window alla ϕ(z) sia stabilita, sorge il problema di dare una rappresentazione della f(z) in D. A tale scopo risponde il Cap. III, nel quale viene esposto un metodo generale atto a fornire una vasta classe di rappresentazioni della f(z) in D. Esso è illustrato da esempi.

Se Open image in new window è una curva semplice, rettificabile e aperta, del piano della z e se su Open image in new window è assegnata una funzione ϕ(z), il procedimento che viene esposto nel Cap. IV consente di esaminare l'esistenza o meno di una funzione analitica f(z), la quale su Open image in new window si riduca alla ϕ(z), e consente di individuare il campo di esistenza della f(z) stessa. Si perviene così a un metodo di prolungamento analitico, il quale, fondandosi sulle proprietà integrali delle funzioni, appartiene all'indirizzo diCauchy-Riemann. Tale metodo consente di risolvere problemi di prolungamento analitico più generali di quello diWeierstrass.

Literatur

  1. (1).
    A proposito del prolungamento delle serie diTaylor seriveJ. Hadamard inLa série de Taylor et son prolongement analytique, Paris, 1901, p. 11: « Nous sommes donc en présence de deux problèmes inséparables et que nous traiterons simultanément: 1o Calculer la fonction en un point quelconque 2o Déterminer les points singuliers ». Evidentemente il 2o problema elencato daHadamard (déterminer les points singuliers) equivale al problema di esistenza, in quanto consiste nella ricerca del campo di esistenza della funzione prolungata. Il 1o problema (calculer ...) è evidentemente il problema di determinazione.Google Scholar
  2. (2).
    All'istituzione dei metodi di prolungamento analitico che vengono qui esposti l'autore è stato condotto dallo studio di alcuni problemi di determinazione relativi ai sistemi isici lineari e dal proposito di risolverli in termini adatti per il calcolo numerico. Un'applicazione del metodo di rappresentazione esposto nel Cap. III, se pur limitatamente a problemi matematici di interesse fisico e tecnico, è stata già illustrata dall'autore in nna conferenzaProblemi attuali nella teoria dei sistemi fisici lineari, tenuta il 21 maggio 1949 presso l'Istituto di Fisica dell'Università di Padova, riassunta in « L'Elettrotecnica », 1950, XXXVII, p. 48 e in una notaLa continuazione analitica delle funzioni associate ai sistemi fisici lineari, « Il Nuovo Cimento », 1949, VI, p. 531. Le formule risolutive che vengono stabilite al Cap. III della presente memoria si prestano pure all'istituzione di metodi per la previsione della misura di grandezze fisiche. come è stato illustrato dall'autore nella communicazioneMetodi per misure indirette di risposta, tenuta alla LVI Riunione annuale dell'A. E. I., Bologna, 17 settembre 1950, e pubblicata in « L'Elettrotecnica », 1951, XXXVIII, p. 24.Google Scholar
  3. (4).
    I. I. Privaloff,L'integrale di Cauchy (in russo), Saratoff, 1919, pp. 1–96. Nella recensione di tale lavoro apparsa in « Jahrb. ü. d. Fort. d. Math. », Band 47, Jahrgang 1919–1920, si attribuisce il risultato sopra riportato pure a F. eM. Riesz. Purtroppo non è stato possibile rintracciare lo studio deiRiesz. Presumibilmente trattasi della memoriaÜber die Randwerte einer analytischen Funktion, da essi presentata al IV Congresso dei Matematici scandinavi, 1916, pp. 27–44.Google Scholar
  4. (5).
    G. Zin,Contributo alla geometria infinitesimale diretta delle curve piane, « Ann. di Mat. pur. e app. », (4), 34, (1953), pp. 41–53.zbMATHMathSciNetGoogle Scholar
  5. (12).
    Il teorema secondo cui la rappresentazione conforme dell'interno di una curva continua, semplice e chiusa nell'interno di una circonferenza genera una corrispondenza biunivoca e bicontinua fra i domini corrispondenti è stato enunciato come probabile daW. F. Osgood, nel suo articolo dell' « Enzyclopädie der Mathematischen Wissenschaften », II,b 1, n. 19, p. 56, datato agosto 1901 ed è stato dimostrato per la prima volta daC. Carathéodory (« Math. Ann. », t. 73, 1913, p. 305–320) e quasi contemporaneamente daOsgood eTaylor (« Trans. A. M. S. », t. 14, 1913, p. 277–298). In seguito varie altre dimostrazioni sono state date, per la cui bibliografia si rimanda aC. Gattegno eA. Ostrowski,Représentation conforme à la frontière; domaines généraux, Fascicule CIX del « Mémorial des Sciences Mathématiques », 1949, pp. 27 e 28.Google Scholar
  6. (14).
    Per la teoria delle serie di polinomi diLegendre si vedaM. Picone,Appunti di analisi superiore, 2a Ed., Vol. I, Napoli, 1946, pp. 164–171 e 356–374 oppureG. Sansone,Sviluppi in serie di funzioni ortogonali (Parte II dellaModerna teoria delle funzioni di variabile reale diG. Vitali eG. Sansone), 3a Ed., Bologna, 1952, pp. 189–319.Google Scholar
  7. (15).
    Nel presente paragrafo si fa ricorso alla teoria della sommabilità delle serie diLegendre mediante il procedimento delle medie diCesaro e si utilizza il seguente risultato: Se una funzione della variabile realex è continua nell'intervallo chiuso (−1, 1), la relativa serie diLegendre è ivi sommabile (C, 1), ed uniformemente. Tale proprietà costituisce un caso particolare di una proprietà più generale di cui godono le funzioni sferiche diLaplace. Essa è dovuta alGronwall, ma la si trova stabilita, con notevole semplificazione di procedimento, in una successiva memoria delFejer,Über die Summabilität der Laplaceschen Reihe durch arithmetische Mittel, « Math. Zeitschr. », 24, (1925), pp. 267–284. L'argomento è pure trattato inE. W. Hobson,The Theory of Spherical and Ellipsoidal Harmonics, Cambridge, 1931, pp. 347–359 e inG. Sansone, op. cit., pp. 300–313.Google Scholar
  8. (16).
    M. Picone, op. cit., p. 167 oppureG. Sansone, op. cit., p. 202.Google Scholar
  9. (17).
    Vedasi ad. es.G. Sansone, op. cit., p. 216.Google Scholar
  10. (18).
    Per la proprietà di cui qui si fa uso, relativa all'inversione dei simboli lim e ∝, dovuta, come è noto, aLebesgue, cfr., per esempio,C. Carathéodory,Reelle Funktionen, (Leipzig, 1918), p. 444. Essa discende anche dai teoremi I di pag. 194 e III di pag. 189 dati nelleLezioni sulla teoria moderna dell'integrazione, diM. Picond e.T. Viola, Torino, 1952.Google Scholar
  11. (19).
    Come è ben noto, a parte le condizioni di analiticità rispetto az, le proprietà dellek n necessarie allo scopo sono state studiate daDu Bois Reymond, Dini, Jordan e, nel modo più approfondito, daLebesgue (« Annales Fac. Sciences de Toulouse », 1909).Google Scholar
  12. (20).
    Alla condizione che leh n (t) siano uniformemente limitate può sostituirsi quella più generale che leh n (t) siano in modulo maggiorate da una stessa funzione integrabile in −1≤t≤1 secondoLebesgue. Per tale condizione, già usata al § 5, Cap. II, cfr. nota (18).Google Scholar
  13. (22).
    L. Tonelli,Fondamenti di calcolo delle variazioni, Vol. I, Bologna, 1921, p. 158.Google Scholar
  14. (23).
    Per la teoria dei polinomi di approssimazione diStieltjes si vedaG. Sansone, op. cit., pp. 429–440.Google Scholar
  15. (24).
    Per la proprietà che viene qui utilizzata si vedaM. Picone, op. cit. in nota (14), pp. 362–363.Google Scholar
  16. (25).
    Whittaker eWatson,A course of modern Analysis, 1943, « Amer. Edit. », p. 322.Google Scholar

Copyright information

© Swets & Zeitlinger B. V. 1953

Authors and Affiliations

  • Giovanni Zin
    • 1
  1. 1.Torino

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