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Sui valori di un polinomio che risultano liberi da potenze

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Si dimostrano alcune formule che forniscono una valutazione asintotica del numero dei valori, assunti da un polinomio a valori interi, che risultano liberi da potenze s-esime, al tendere all'infinito dell'argomento. Si dànno poi esempi di applicazione di tali formule a problemi particolari, e specialmente a quello di valutare asintoticamente il numero delle rappresentazioni di un vntero N abbastanza grande come somma di una potenza g-esima e di un numero libero da potenze g-esime.

Bibliografia

  1. (1)

    Vedi ad es.:G. Ricci,Ricerche aritmetiche sui polinomi, « Rend. Circ. Mat. Palermo »,57 (1933), pp. 433–475.

  2. (2)

    VediM. Cugiani,Sulla rappresentazione degli interi come somme di una potenza e di un numero libero da potenze, « Ann. Mat. pura e appl. », 4,33 (1952), pp. 135–143. Qui si allude al teorema A, p. 135. Cogliamo l'occasione per fare una precisazione relativa alla nota testè citata. All'enunciato del teorema B, colà dimostrato, è opportuno aggiungere esplicitamente una condiziene atta ad escludere il caso banale che nel divisore fisso diF(x)-F(0) entri unat-esima potenzak t, caso in cui esistono ovviamente infiniti valori diN per i quali non si dà alcuna rappresentazione del tipoN=F(x)+l t (precisamente tutte le volte cheNF(0) è divisibile perk t). Basterà ad es. supporre che i numeratori dei coefficienti diF(x)−F(0) siano primi fra loro: in tal caso infatti il divisore fisso diF(x)−N è un divisore dig !, circostanza per l'appunto invocata nel corso della dimostrazione colà esposta. Si vede inoltre facilmante che il teorema vale anche sotto la semplice ipotesi che il divisore fisso diF(x)−F(0) sia libero da potenzet-esime.

  3. (5)

    Vedi:Th. Estermann,Einige Sätze über quadratfreie Zahlen, « Math. Ann. »,105 (1931), pp. 653–662.

  4. (6)

    Vedi ad es. la nota citata in (1) al § 21, pp. 454 e segg. Veramente la dimostrazione è ivi condotta per il caso ζ=0, ma una semplice ispezione mostra che essa rimane valida per ogni ζ reale≥0. Vedere su questo punto ancheG. Ricci,Su la congettura di Goldbach e la costante di Schnirelmann, « Annali d. Scuola Normale Sup., Pisa », (2),6, pp. 71–116, in particolare il Teorema I, p. 81. Si osservi inoltre che la dimostrazione del lemma, riferita là ad unF(x) a divisore fisso 1, è condotta però in modo indipendente da tale ipotesi.

  5. (7)

    Il ragionamento è qui condotto sotto la tacita ipotesi che ψ(ξ) →+∞ per ζ →+∞. È ovvio tuttavia che esso si adatta anche al caso che ψ(ξ) si mantenga limitata; basterà allora porre, per ξ≥ξ0,k=[Aφ(ξ)], conA reale abbastanza grande. Analoga avvertenza vale per la successiva dimostrazione della formula (c).

  6. (8)

    Vedi:M. Cugiani, nota cit. in (2), pp. 137–38.

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Cugiani, M. Sui valori di un polinomio che risultano liberi da potenze. Annali di Matematica 35, 291–298 (1953). https://doi.org/10.1007/BF02415274

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