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Risoluzione del problema piano di Dirichlet

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Sunto

Si considera il problema piano diDirichlet relativamente a un dominio limitato avente per contorno una curva C continua, chiusa, semplice, rettificabile. Si estende il problema, dando i relativi teoremi di esistenza e unicità, al caso in cui la funzione data su C sia ivi soltanto limitata e integrabile rispetto all'arco. In seguito il problema diDirichlet viene posto anche per una più vasta classe di funzioni date su C, ma ivi non limitate, sempre giustificando l'estensione mediante teoremi di esistenza ed unicità.

Si introduce una formula risolutiva del problema diDirichlet, così esteso, rivolta a rappresentare la soluzione mediante una serie di polinomi armonici. I teoremi che vengono stabiliti sulla validità di tale formula ne assicurano l'applicabilità a tutti i casi che ordinariamente si presentano.

Bibliografia

  1. (1)

    G. Zin.Sull'esistenza in un dominio jordaniano di funzioni olomorfe all'interno e convergenti al contorno verso valori assegnati, « Rend. Accad. Naz. Lincei », (8), 14, (1953), pp. 476–483.

  2. (4)

    La completezza del sistema dei polinomi armonici fu affermata, più che dimostrata, daS. Bernstein,Sur le principe de Dirichlet et le développement des fonctions harmoniques en séries de polynomes, C. R. 148, pp. 1306–1308, se pur limitatamente a « curve che ammettono in ogni punto un raggio di curvatura determinato ». La completezza del sistema dei polinomi armonici sul contorno di un dominio, anche pluriconnesso, dello spazio fu stabilita daG. Fichera,Teoremi di completezza sulla frontiera di un dominio per taluni sistemi di funzioni. « Ann. di Mat. pur. c app. », S. IV, T. XXVII, 1948, ma imponendo al contorno talune restrizioni (esistenza di piano tangente variabile con continuità e di curvature principali pure continue).

  3. (6)

    Vedasi ad es.L. Tonelli,Fondamenti di calcolo delle variazioni, Vol. I, Bologna, 1921, p. 173.

  4. (7)

    Per gli integrali curvilinei di funzioni continue estesi a curve rettificabili si può ad es. vedereL. Tonelli, op. cit., p. 192. La dimostrazione del teorema sugli integrali curvilinei, data da questo Autore, riguarda funzioni definite e continue in un campo contenente la curva, ma essa sussiste, senza ritocco alcuno, anche se la funzione è definita e continua soltanto sulla curva.

  5. (8)

    Vedasi ad es.G. Sansone,Sviluppi in serie di funzioni ortogonali (parte II dellaModerna teoria delle funzioni di variabile reale diG. Vitali eG. Sansone), III ed., Bologna, 1952, p. 8 o ancheM. Picone eT. Viola,Lezioni sulla teoria moderna dell'integrazione, Torino, 1952, p. 222.

  6. (12)

    P. Fatou,Séries trigonométriques et séries de Taylor, « Acta Mathematica », XXX, 1906, pp. 335–400, oppureL. Tonelli,Serie trigonometriche, Bologna, 1928, p. 390.

  7. (14)

    Per tale teorema si può vedereL. Tonelli,Fondamenti di calcolo delle variazioni, Bologna, 1921, Vol. I, p. 158 e primo capoverso di p. 159. Il teorema colà dato riguarda una successione di funzionif n (n=1, 2, 3, …), ma evidentemente esso vale anche se l'indicen viene sostituito con un parametro ρ variabile con continuità.

  8. (15)

    La corrispondenza di insiemi di misura nulla su γ a insiemi di misura nulla suC e viceversa, subordinata dalla trasformazione conforme, venne stabilita ancora da F. eM. Riesz,Über die Randwerte einer analytischen Funktion, « Rendiconti del IV Congresso dei Matematici scandinavi », 1916, pp. 27–44 e indipendentemente daI. I. Privaloff,L'integrale di Cauchy (in russo), Saratoff, 1919, pp. 1–96.

  9. (16)

    I. I. Privaloff, l. c. in nota precedente.

  10. (18)

    Cfr. nota (13).

  11. (19)

    Per la bibliografia relativa a tali teoremi vedasi il lavoro citato in nota (1).

  12. (20)

    Cfr. nota (17).

  13. (23)

    Tale formula può essere ricavata in diverse maniere (da essa, mediante integrazione per parti e ricorso alle condizioni di monogeneità diCauchy-Riemann, si ottiene subito la formula delDini che risolve il problema interno diNeumann per il cerchio; cfr. ad es.M. Picone,Appunti di analisi superiore, Napoli, 1946, Vol. I, p. 132. Si è introdotta una circonferenza\(\bar \gamma \) di raggioR<1 perchè in tal caso l'uso della (33) viene fatto sotto condizioni di validità comunemente note (αν(ζ, η) e ων(ζ, η) entrambe armoniche in un campo semplicemente connesso contenente tutti i punti di\(\bar \gamma \)).

  14. (25)

    Cfr. nota (7).

  15. (27)

    V. Smirnoff,Über die Ränderzuordnung bei konformer Abbildung. « Math. Ann. », t 104, 1931, pp. 182–243.

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Zin, G. Risoluzione del problema piano di Dirichlet. Annali di Matematica 35, 203–254 (1953). https://doi.org/10.1007/BF02415271

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