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Annali di Matematica Pura ed Applicata

, Volume 44, Issue 1, pp 357–417 | Cite as

Sistemi di equazioni a derivate paraziali in più variabili indipendenti

  • Maria Cinquini-Cibrario
Article

Sunto

Sotto ampie ipotesi, sono dimostrate l’esistenza, l’unicità e la dipendenza continua dai valori iniziali della soluzione in senso generalizzato del problema diCauchy per il sistema di equazioni quasi-lineari a derivate parziali in più variabili indipendenti
$$\frac{{\partial z_i }}{{\partial x}}$$
.

Bibliografia

  1. (1).
    M. Cinquini-Cibrario,Nuovi teoremi di esistenza e di unicità per sistemi di equazioni a derivate paraziali, « Ann. della Scuola Normale Sup. di Pisa », (3), IX (1955), 65–113. Tale memoria nel seguito verrà indicata spesso con (M). Uno dei risultati di tale memoria (precisamente quello, più particolare, delTeorema II, § 2, n. 9, p. 87–89) è contenuto nella comunicazione,Una estensione nello studio dei sistemi di equazioni a derivate parziali, Proceedings of the International Congress of Mathematicians 1954 (Amsterdam 2–9 sept.), Vol. 1 p. 449–450.MathSciNetGoogle Scholar
  2. (2).
    S. Cinquini,Un teorema di unicità per sistemi di equazioni a derivate parziali del primo ordine, Note I e II, « Rendic. Acc. Naz. dei Lincei » (8) XVII (1954), 188–191 e 339–344. Il risultato aveva formato oggetto della comunicazione:Sopra una forma più ampia del problema di Cauchy per i sistemi di equazioni a derivate parziali del primo ordine, Proceedings of the International Congress of Mathematicians 1954 (Amsterdam 2–9 sept.), Vol. 1 p. 447–449.MathSciNetGoogle Scholar
  3. (3).
    S. Cinquini,Sopra l’unicità della soluzione dei sistemi di equazioni a derivate parziali del primo ordine, « Rendic. lstituto Lombardo », 88 (1955), 960–978. Il § 1 è dedicato ai sistemi non lineari più di due variabili indipendenti, il § 2 ai sistemi quasi-lineari.MathSciNetGoogle Scholar
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    C. Carathéodory,Vorlesungen über reelle Funktionen, Teubner, Leipzig, 1918; cfr. Kap. XI, pp. 665–688.zbMATHGoogle Scholar
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    L. Tonelli,Sulle equazioni funzionali del tipo di Volterra, « Bull. of the Calcutta Math. Soc. », XX (1928), 31–48.Google Scholar
  6. (7).
    S. Cinquini, l. c. in (3).Google Scholar
  7. (7).
    In tutta la presente memoria l’integrazione è intesa nel senso diLebesgue.Google Scholar
  8. (8).
    I teoremi diCarathéodory (cfr. l. c. in (5), n. 582, p. 672, n. 583, p. 674) assicurano l’esistenza e l’unicità della soluzione del sistema (3).Google Scholar
  9. (9).
    Per risultati aualoghi al presente cfr.Google Scholar
  10. 9a).
    M. Cinquini-Cibrario eS. Cinquini,Sopra una forma più ampia del problema di Cauchy per l’equazione p =f(x, y, z, q), « Ann. di Mat. » (4) XXXII (1951), 121–155, cfr. § 1, n. 1, Lemma di p. 123–125.CrossRefMathSciNetGoogle Scholar
  11. 9b).
    M. Cinquini-Cibrario eS. Cinquini,Sopra una nuova estensione di un teorema di esistenza per equazioni a derivate parziali del primo ordine, « Ann. di Mat. » (4), XLIII (1957), 51–81; cfr. n. 1, Lemma di p. 53–54. Cfr. anche:G. Sansone eR. Conti,Equazioni differenziali non lineari, Monografie Matematiche del C. N. R., Ediz. Cremonese, Roma 1956, Cap. I, § 2, n. 4, p. 20; § 3, n. 2, p. 23–24.CrossRefMathSciNetGoogle Scholar
  12. (11).
    Cfr.G. Sansone eR. Conti, l. c., Cap. I, § 2, n. 1, p. 15–16. Per il caso particolare utilizzato nel testo cfr. anche (M), § 4, n. 24, nota (35), p. 110–111.Google Scholar
  13. (12).
    Circa il cambiamento di variabili negli integrali doppi cfr. p. es.:H. Rademacher,Über partielle und totale Differenzierberkeit von Funktionen mehrerer Variabeln und über die Transformation der Doppelintegrale, « Math. Ann. », 79 (1919), 340–359; cfr. in particolare Parte III, n. 9, p. 358–359,Teorema VI: il teorema relativo al cambiamento di variabili negli integrali multipli è dimostrato nel caso degli integrali doppi, ed è esteso, alla fine, al caso degli integrali multipli.CrossRefMathSciNetGoogle Scholar
  14. (17).
    Si applica qui un teorema di derivazione delle funzioni composte, per il quale cfr.G. Scorza-Dragoni,Un’osservazione sulla derivata di una funzione composta, « Rendic. del Seminario Matematico dell’Università di Padova », XX (1951), 462–467 (Cfr. il Teorema del n. 1). Cfr. ancheM. Cinquini-Cibrario eS. Cinquini, l. c. in (9)a), § 2, n. 5,e), p. 144–145. IlLemma V rientra in un teorema da A.Sambo,Sulla derivazione derivazione delle funzioni composte, « Rendic. Acc. Sc. di Napoli » (4), XIX (1952), 153–156; nelle ipotesi attuali, in cui si suppone chez(x, y 1,...,y h) sia continua nel complesso delle variabili e che la derivataZ’(x) (intesa nel senso ordinario) esista in quasi tutto (0,α), la dimostrazione riesce (come risulta dal testo) estremamente semplice. Sull’argomento ricordiamo anche il lavoro di:M. Volpato,Sulla assoluta continuità e sulla validità della classica formula di derivazione delle funzioni composte, « Rendic. del Seminario Matematico dell’Università di Padova», XXVII (1957), 37–47.MathSciNetGoogle Scholar
  15. (17).
    Per ogni\(\bar x\) fixxato di (0,x), la funzionez(\(\bar x\),y 1,...,y h) è lipschitziana iny 1, ...,y h; allora (cfr.H. Rademacher, l. c. in (12), Parte I, n. 3,Teorema I, p. 347) la funzionez(\(\bar x\),y 1, ...,y h) è differenziabile come funzione diy 1, ...,y h per quasi tutte leh-ple (y 1, ...,y h).Google Scholar
  16. (20).
    Infatti, seE 1 è uninsieme limitato di misura nulla del campoC 1, eJ 1(X) la sua sezione col pianoX = cost., per quasi tutti gliX di (0,α),J 1(X) è di misura nulla; seE 2,J 2(X) sono gli insiemi appartenenti al campoC 2 e corrispondenti biunivocamente aE 1,J 1(X), per quasi tutti gliX di (0,α) l’insiemeJ 2(X) è di misura nulla (cfr.Lemma III, § 1, n. 2), e quindi ancheE 2 è di misura nulla. Nello stesso modo si prova che ad un insieme limitato di misura nulla del campoC 2 corrisponde biunivocamente un insieme limitato di misura nulla del campoC 1. Un semplice passaggio al limite ássicura che anche ad un insieme illimitato di misura nulla di uno dei due campi corrisponde biunivocamente un insieme illimitato di misura nulla dell’altro.Google Scholar
  17. (25).
    Cfr. ilLemma IV del § 1, n. 3, form. (15) e (16).Google Scholar
  18. (26).
    Cfr. § 1, n. 3,Lemma IV,Osservazione, form. (32).Google Scholar
  19. (27).
    In particolare si utilizzano le formule (9) e (10) del § 1, n. 1b); attualmente le funzioni μr(X) devono essere sostituite daM ir(X), e leL r(X) devono tutte essere sostituite dalla funzioneL(X)(1 +W(X)); vi è inoltre uno scambio degli indicir eds. nota (20), p. 84, § 1, n. 6.Google Scholar
  20. (28).
    Cfr. (M) nota (21), p. 84, § 1, n. 6.Google Scholar
  21. (30).
    La funzioneS(x) è continua in (0, α); la dimostrazione della continuità diS(x) è del tutto simile a quella sviluppata in (M), § 4, n. 24, nota (34), p. 109–110, per provare la continuità della funzione, indicata in (M), l. c., conu(x).Google Scholar
  22. (31).
    Cfr.S. Cinquini, l. c. in (3), § 2; cfr., in particolare, ilTeorema del n. 5, p. 969–970. Tale teorema di unicità è enunciato e dimostrato per il caso di due sole variabili indipendenti, ma come è detto esplicitamente nell’introduzione al lavoro stesso (cfr. p. 961), il risultato si può estendere al caso, in cui le variabili siano in numero maggiore di due.Google Scholar
  23. (36).
    Cfr.C. Carathéodory, l. c. in (5), n. 589–591, Satz 7, p. 682–687.Google Scholar

Copyright information

© Swets & Zeitlinger B. V. 1978

Authors and Affiliations

  • Maria Cinquini-Cibrario
    • 1
  1. 1.Pavia

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